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随机抛掷硬币，无论硬币是正面落下还是反面落下，结果每次都无法预料。正因为这种随机性，有些人甚至在不确定的时候用这种方法来询问“天意”。如果你只抛10次硬币，可能会有5次正面朝上，5次反面朝上，7次正面朝上，3次反面朝上，甚至10次正面朝上。但是，如果扔1000次，可以肯定的是，正面和背面的次数不会有太大差别。这是为什么呢？

直觉上，这是因为各种偶然因素会相互抵消。每次投掷硬币都会受到各种因素的影响：握币的方法、投掷硬币的姿势、投掷点离地面的高度、气流对硬币的影响、地面的高低不平等等。稍微改变其中的任何一个因素，也许最后的结果都会是相反的。然而，这些因素的影响是双向的，它们并不专门针对硬币的正面或背面。只要折腾的次数足够多，前后方出现的次数应该大致相当。这说明抛硬币正面的概率可以通过抛硬币正面的频率来估计。进一步推广到所有的随机事件，我们可以做大量的统计，通过计算一个随机事件发生的频率来估计它发生的概率。

但是，我们必须认识到，无论我们折腾多少次，我们永远无法100%确定硬币正面朝上的频率正好是50%。那么你要扔多少次才能确定测得的频率是最终的“概率”？

这个问题是由数学家雅各布伯努利在300多年前解决的。伯努利说，首先，你必须设定一个可容忍的误差。比如你可以把49.5%到50.5%之间的频率看成是50%的概率。即便如此，你还是不能确定，每当你抛硬币很多次，你得到的频率一定在这个范围内。所以你也必须设定一个可容忍的自信度。比如你可以问，每100个这样的实验(每次实验扔1000个硬币)，其中至少有99个会落在49.5% ~ 50.5%的范围内。伯努利证明：无论区间有多小，无论保证程度有多高，只要你抛硬币的次数足够多，你设定的两个条件都会满足。这就是数学中的“大数定律”。

伯利说，“即使是最笨的人也应该本能地理解大数定律。”但是要证明这个严格的数学定理并不容易。事实上，伯努利花了20年才完成。我们不必关心伯努利是怎么证明的，但如果你好奇，可以看看它的数学表达式：lim。

生活充满了各种各样的偶然性。比如一支球队再强，我们也不能确定它每场比赛都会赢。强队随时都有可能输给弱队，因为，也许他们的主力会受伤，也许全队会赶上流感生病，也许对手在主场会突然发挥超出自己的水平，也许裁判会偏袒对手等等。每场比赛都有悬念，但大数定律告诉我们，只要联赛足够长，强队最终一定会脱颖而出。

大数定律说明了偶然性的必然性。科学实验必须大量重复才有意义。大数定律是科学实验和社会统计的基石。正是因为这个规律，科学家们相信，通过大量的反复实验，才能发现世界的真正规律。只要调查的人足够多，分布足够广，就可以对社会某一方面的事实做出确定的判断。

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