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在外国文献中，九连环被称为“ChineseRing”，是世界公认的人类有史以来发明的最神秘的玩具之一。

九连环不知道是什么时候发明的。由于年代久远，史料缺乏，很多人认为很可能来自民间。16世纪的大数学家卡尔达诺，在推广三次方程解法方面有突出贡献，在公元1550年(相当于中国明朝中叶)就已经提到了九连环。后来大数学家华莱士也对九环做了精辟的分析。明清两代，从所谓的“士大夫”到小卒，大家都很喜欢。

九连环一般都是粗铅丝做的，现在搞的民间艺人这么少，只好自己做一个了。它有九个环，每个环都与一根细直的铅丝杆相连。每根棒穿过后一个环，插入锡板上的一排小孔中。杆的下端弯成一个小圆圈，这样只能在洞里上下移动，出不来。另外，用粗铅丝做一个双股发夹。

玩这个游戏的目的是把九个环一个一个系好，戴在发夹上，或者把九个环全部从发夹上取下。穿上或脱下都不容易。它要经过数百道程序，遵循一定的规则。用数学术语来说，有一套“算法”。

首先介绍两个基本动作。如果想把戒指套在发夹上，先把戒指从下往上穿过发夹套在发夹头上(如图A虚线所示)，如图b所示，这个动作除了第一个戒指可以随时做，其余的戒指都不能戴上，因为其他戒指都扣上了。但需要注意的是，如果发簪前面有一个相邻的环，但其他前面的环都不在发簪上，那么，只要将发簪上的这个环暂时移动到发簪头的前面，松开发簪头(如图C)，后一个环就可以戴上，然后前一个环就可以恢复到原来的位置(如图D)。

至于从发夹上取下戒指的基本动作，只需把上面的“戴上戒指”动作反过来即可。

知道了这两个基本动作之后，还要多加练习，这样无论穿上还是脱下都能运用自如。现在可以看到，如果戴上第一枚戒指，只需要一步。要戴第一环和第二环，可以先戴第一环，再戴第二环。因此，它需要两步。如果非要去三环，手续就更麻烦了。必须先装上第一环和第二环，必须先拆下第一环，才能装上第三环，然后才能装上第一环。这样总共需要五个步骤。(为了统一起见，每动一环算一步。)环数多了，程序必然更复杂，一错就乱。好在中国古代研究者早有考虑，根据古代计算的特点，创造了“一二一三一二一一二一，簪头接二，单环置于簪上，背环”三个公式。(后五步是12131；摘环的前五步是13121。)

换句话说，移动的程序是每八步可以为一个单位，前七步必须是“1213121”。至于应该“涨”还是“跌”，可以看自然趋势。即不在发夹上的应该是“上”，在发夹上的应该是“下”。至于第八步，就要看当时发卡的情况了：如果有两个环连在一起，就必须把后面的环摘下来；如果发夹只有一个环，一定要戴上后环。以上是公式的含义，“算法”的所有秘密都在这里。根据这三个公式，解开或戴上九个环是毫不费力的，虽然有341步之多。按照中国古代小说的说法，民间老艺人解开九环全部需要五分钟左右。

1975年，国外出了一本专集，专门讲各种系列。由于电子计算机的迅速发展，数学中出现了“离散化”的倾向。因此，这本书的出版被认为是史无前例的，受到了各方面的好评。在本书中，还收集了以下序列：

1、2、5、10、21、42、85、170、341、……

一开始大家都很疑惑，不知道它是干什么用的，因为它既不是等差数列，也不是几何数列，更不是什么著名的数列。然而被指出后，我恍然大悟，原来是“九连环”。第一项的1表示解锁一枚戒指只需一步，第二项的2表示解锁两枚戒指需两步，诸如此类。因此，总共需要341步才能打开九个戒指。

数列中的数字有什么规律？一定要背下来吗？经过人家的研究分析，谜底终于揭开了。原来，如果我们用un来表示上述序列中的第n项，那么，我们可以得到如下公式：

当n是偶数时，un=2un-1。

(比如解锁八个戒指需要的步数是170，正好是解锁七个戒指需要的步数的两倍，85)。)

当n为奇数时，un=2un-1 1。

(比如解锁九枚戒指需要的步数是341，等于解锁八枚戒指需要的步数的两倍加1。)

这样，有了u1就可以推出u2，有了u2就可以推出u3…….就像跟风一样，这种方法叫做“递归”，这是数学中非常重要的概念。

虽然上面的方法不错，但还是有人觉得美中不足。他们问，如果要解开几个环，需要几个步骤？有没有直接的计算公式？用数学的行话来说，就是求一个用n代表un的函数关系。经过以前的研究，这个公式也存在，即：

结果成功解决了九链问题。

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