简述频域分析法(试述频域分析法的概念)
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时域分析是分析和研究系统动态特性和稳态误差最直观、最准确的方法。然而，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往是非常困难的。另外，由于高阶系统的结构和参数与系统的动态性能之间没有明确的函数关系，所以不容易看出系统参数的变化对系统动态性能的影响。当系统的动态性能不能满足生产中要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的方法。
本章介绍的频域分析法是研究控制系统的经典方法，是在频域内利用图形分析法评估系统性能的一种工程方法。频率特性可以通过微分方程或传递函数获得，也可以通过实验方法测量。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接揭示系统的时域性能。它可以方便地显示系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指出如何设计校正。
第一节频率特性
对于线性时不变系统，如果将正弦信号施加到输入端
(5—1)
那么系统的稳态输出y(t)也是正弦信号，频率与输入信号的频率相同，即
(5—2)
u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅度和相位不同，并且随着输入信号角频率的变化，它们之间的幅度和相位关系也发生变化。基于频率的系统输入输出关系称为系统的频率特性。
不失一般性，让线性时不变系统的传递函数G(s)写成如下
(5—3)
在公式B(s)——中，传递函数G(s)的m阶分子多项式，其中s是复变量；
A(s)——传递函数G(s)的n阶分母多项式(nm)；
—传递函数G(s)的极点，可以是实数，也可以是复数。对于一个稳定的系统，它们都应该有负的实部。
根据公式(5-1)，正弦输入信号u(t)的拉普拉斯变换是(Charla变换表)
(5—4)
输出信号y(t)的拉普拉斯变换为
Y (s)=U (s) G (s)用公式(5-3)和(5-4)代替其他。
公式可以改写为(使用部分分数法)
(5-5)
上式中——待定系数，都可以用留数定理求出。其中a1和a2
是共轭复数。
对公式(5-5)的两边进行拉普拉斯逆变换，得到
(5—6)
对于一个稳定系统，所有极点都有负实部，所以当t时，它们都会衰减到零。此时，输出信号y(t)仅由公式(5-6)中的第一项和第二项决定，即稳态输出y ()为
(5—7)
公式(5-7)中的待定系数a1和a2可以分别由留数定理得到。
(5—8)
上式中，G(j)和G(-j)是复数，可以用极坐标表示如下
(5—9)
将公式(5-8)和公式(5-9)代入公式(5-7)
(5-10)
中中
等式(5-10)表明，在线性时不变系统中，在正弦输入信号的作用下，稳态输出信号y ()仍是与输入信号同频的正弦信号，但输出信号y ()的幅值和相位不同。输出信号Y ()的幅度Y是输入信号U的两倍，相移为0，是角频率的函数。当相移为正时，意味着输出信号y ()的相位超前于输入信号的相位；当相移为负时，意味着输出信号y ()的相位晚于输入信号的相位。
如果输入信号的频率发生变化，总和也会发生变化。线性时不变系统在正弦输入时，稳态输出y ()与输入的幅值比和相移的函数关系随频率变化，分别称为幅频特性和相频特性。分别用M()和()表示，即
合起来称为系统的频率特性。
从公式(5-9)可以看出，可以统一用G(j)表示，即
(5-11)
也可以用直角坐标c表示
另一方面，如果系统(或元件)的频率特性可以通过实验方法获得，将为确定系统(或元件)的传递函数提供依据。
系统的频率特性有很多种表达方式，本质上都是一样的，只是形式不同而已。在工程中用频率法研究控制系统时，主要用图解法。因为图解法可以方便快捷地获得问题的近似解。每种图解法都是基于某种形式的坐标图表示法。频率图解法是描述频率变化时频率响应的幅度、相位和频率之间关系的一组曲线。由于采用的坐标系不同，可分为极坐标图解法和对数坐标图解法两种图解法或三种常用曲线或幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。
一、幅相频率特性(奈奎斯特图)
从上面的介绍可以看出，如果系统的传递函数G(s)已知，那么设s=j ，立即可得的频率特性为。显然是以频率为自变量的复变量，可以用复平面[s]上的一个向量来表示。向量的长度是的振幅；向量和正实轴之间的角度是相位角。那么当频率从0变化到时，系统或元件的频率特性的值是不断变化的，即这个向量在[s]平面上也是变化的，所以向量端在[s]平面上画出的曲线称为系统的幅相频率特性，或称奈奎斯特图。
二。对数频率特性(伯德图)
从上面的介绍可以看出，幅相频率特性是以为参数变量的图形，定量分析有一定的不便。因此，在工程中，经常将和分别表示在两个图形上，这些图形因其标度特性而被称为对数幅频特性图和对数相频特性图。
1.对数幅频特性
为了研究问题的方便，幅频特性常以增益L()来表示，其关系为：
(5—12)
在图中，垂直轴是线性标度的，并标有增益值；横轴以对数刻度，标以频率，称为对数幅频特性。
2.对数相频特性
图的纵轴为均匀刻度，标有数值，单位为度；水平轴刻度与对数振幅-频率特性相同。它用对数标度，并用频率的值标记，称为对数相频特性。
对数幅频特性和对数相频特性统称为对数频率特性，或称伯德图。
三。对数振幅和相位频率特性(Nikolstu)
对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以(度)为线性划分的横轴，(db)为线性划分的纵轴，为参数变量画出的曲线称为对数幅相频特性，或Nichols。本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。
第二节频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
一.基本概念
由于频率特性G(j)是一个复数，因此可以将其视为复平面上的一个向量。当频率为某一值l时，频率特性G(jl)在极坐标中可表示为一个矢量，其相角为(相角的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅度为，如图5-1 (a)所示。对应于该矢量的数学表达式为
当频率从零到(或从-0)连续变化时，矢量端点A的位置也连续变化并形成轨迹曲线。如图5-1 (a)中G(j)曲线所示。这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，也称为G(j)的幅相频率特性。
如果G(jl)用直角坐标表示
从第2章可知，一个控制系统可以由几个典型环节组成。为了用频率特性极坐标图分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节的频率特性极坐标图。
1.比例链接
比例环节的传递函数为
G(s)=K
因此，比例连杆的频率特性为
G (j)=k ten j0=(5—13)
其频率特性的极坐标图如图5-2所示。其中振幅m ()=k，相移 ()=00。而且和无关，也就是说输出是输入的k倍，相位相同。
图5-2比例环节频率特性极坐标图
2.整体链接
积分环节的传递函数为
g(s)=1
因此，集成链路的频率特性为
(5—14)
其频率特性的极坐标图如图5-3所示。是整个负虚轴，当时，趋向原点0。很明显，积分环节是一个相位滞后环节【因为 ()=-900】，信号每次经过一个积分环节，相位都会滞后900。
图5-3积分环节频率特性极坐标图
3.差分链路
差分链路的传递函数为
G(s)=s
因此，差分链路的频率特性为
(5—15)
极坐标图如图5-4所示。是整体的正虚轴，正好与整体环节的特征相反。幅度变化与成正比：M()=，当=0时，M()也为零，当时，M()也。差分链路是相位超前链路[ ()=900]。系统中每增加一个差分链路，相位就会提前90。
图5-4差分链路频率特性极坐标图
4.一阶惯性环节
一阶惯性环节的传递函数为
因此，一阶惯性环节的频率特性为
(5—16)
幅频特性和相频特性为
实频率特性和虚频率特性可以直接从等式(5-16)获得，如下
并且满足下面的圆的方程。
圆心是，半径是。
当从0时，M()从L0； ()从00到-900。因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为半圆形，如图5-5所示。
一阶惯性环节为相位滞后环节，其最大滞后相角为90。一阶惯性环节可以看作是一个低通滤波器，因为频率越高，M()越小，当>时，幅度M()已经趋近于零。
图5-5惯性环节频率特性极坐标图
5.二阶振荡
二阶振荡链路的传递函数为
(o<<1)
二阶振荡链路的频率特性如下
(5—17)
相应的幅频特性和相频特性为
(5—18)
根据上面的表达式，可以画出二阶振荡环节频率特性的极坐标图，如图5-6所示。从方程(5-18)和图5-6可以看出，当=0时，m ()=1，()=00；在0 < <1的欠阻尼条件下，当=时，频率特性曲线与负虚轴相交，交点处的频率为无阻尼固有振荡频率==。当，M()0，() 1800。频率特性曲线与实轴相切。
图5-6二阶振荡环节频率特性极坐标图
图5-6中的曲线族表明，二阶振荡环节的频率特性与阻尼比有关，当较大时，振幅M()变化不大；小时，M()变化大。另外，不同值的特性曲线都有一个最大振幅，称为共振峰，对应的频率r称为共振频率。
当 > 1时，幅相频率特性将近似为半圆形。这是因为在过阻尼系统中，所有的特征根都是负实数，一个根比另一个根小得多。因此，当的值足够大时，取大值的特征根对动态响应的影响很小，所以二阶振荡环节可以近似为一阶惯性环节。
6.延迟链路
延迟链路的传递函数为
g(s)=1
其频率特性如下
用频域分析法分析自动控制系统时，一般有两种方法。一种是利用系统的开环频率特性直接分析闭环系统的性能。另一种是根据开环频率特性和现有的标准线图得到闭环频率特性，然后利用闭环频率特性分析闭环系统的性能。无论是前一种方法还是后一种方法，都必须先画出开环频率特性曲线，而用极坐标图进行图形分析时，必须先画出极坐标图形式的开环幅相频率特性曲线。
已知反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)。用j代替G(s)H(s)中的S，就可以得到开环频率特性G(j)H(j)。画开环幅相频率特性曲线时，G(j)H(j)可以写成直角坐标形式。
或者用极坐标书写。
给定不同的，计算对应，或求和，即可得到极坐标图中的对应点。当从0变化到时，可以得到系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯特图，简称奈奎斯特图)，图中的特性曲线简称奈奎斯特曲线。
【例5-1】试画以下开环传递函数极坐标图的奈奎斯特曲线
问题求解给出的开环传递函数G(s)H(s)可视为比例环节GL(s)=k=10；两个一阶惯性环节串联。这三个环节的幅度和相频特性如下
因此，系统的开环幅频特性为
开环相频特性为
当是若干个具体值时，可以由上述两个公式计算出和值，如表5-2所示。
表5-2不同值的和值
图5-8实施例5-1的纳氏图
如第三章所述，根据开环系统传递函数中积分环节个数V的不同(V=0，L，2…)，控制系统可分为0型系统、I型系统、II型系统、III型系统…等等。下面将给出0型系统、I型系统和II型系统开环频率特性的极坐标。这些典型系统的朴素图特征将有助于今后用朴素图方法分析和设计控制系统。
1.0型系统的开环奈奎斯特曲线
0型系统的开环传递函数为
其频率特性如下
(5-20)
中中
(5—21)
由公式(5-21)可知，当=0时，m (0)=k， (0)=00。当，因为m
例如，设0型系统的开环频率特性为
其中：n=2，m=0，所以
即朴素曲线会从-1800进入坐标原点，即朴素曲线在原点与负实轴相切。如图5-9所示，曲线A.作为另一个例子，假设0型系统的开环频率特性如下
其中：n=3，m=0，所以
即朴素曲线会从-2700进入坐标原点，即朴素曲线在原点与正虚轴相切。曲线b如图5-9所示。
图5-9 0型系统的纳氏图
2.型系统的开环奈斯勒曲线
L型系统的开环传递函数为
其频率特性如下
(5—22)
中中
(5—23)
从式(5—23)可以看出，当=0时，m (0)=， (0)=—900，所以I型系统的奈奎斯特曲线起点在无穷远处，相角为—900。当时，因为m
图5-10型系统的纳氏图
3.型系统的开环奈斯勒曲线
这次行动
从式(5-25)可以看出，当=0时，m (0)=， (0)=-1800，所以型系统奈奎斯特曲线的起点在无穷远处，相角为-1800，如图5-11所示。当时，因为m
上式中，m=1，n=3，所以 ()=(3—1) (-900)=-1800，即奈奎斯特曲线在原点与负实轴相切，如图5—11中曲线A所示。图5-11中的曲线B是类系统开环频率特性的奈奎斯特曲线。此时n-m=3-0=3，所以 ()=(3-0) (-900)=-2700，所以天真曲线B在原点与正虚轴相切。
图5-11型系统的纳氏图
4.摘要
综上所述，为了绘制系统的开环纳氏曲线，可以采用以下方法来确定几个关键部分的特性。
(1)奈曲线的低频段
开环系统频率特性的一般形式是
(5-26)
中中
(5-27)
当0时，可以确定特性的低频部分。当=0时，公式(5-27)为
其特性大致由系统类型V决定，如图5-12 (b)所示。
对于0型系统，当=0时，特性达到一个点(k，j0)。对于型系统，当=0时，特征趋向于平行于负虚轴的渐近线。对于型系统，当=0时，特征趋向于平行于负实轴的渐近线。
(2)奈曲线的高频段
展开上述开环系统频率特性的一般形式(5-26)中的分子和分母因子，有
(5-28)
一般有n > m，所以当时，公式(5-28)可近似表示为
(5—29)
中中
(5—30)
即根据公式(5-30)的角度，特性总是在原点处结束，如图5-12 (a)所示。
对于n-m=1的系统，当时，特性从负虚轴的角度终止于原点。对于n-m=2系统，当时，特征线从负实轴的角度终止于原点。对于n-m=3的系统，当时，特性从正虚轴的角度终止于原点。
图5-12 (a)奈伊曲线高频段的形状(b)奈伊曲线低频段的形状
(3)奈氏曲线与实轴和虚轴的交点
特性曲线和实轴交点的频率由下式获得，因此开环系统频率特性曲线的虚部等于0，即
通过以下公式获得与特性虚轴的交点的频率，因此开环系统的频率特性的实部等于0，即
(4)奈曲线的中频段
如果传递函数的分子中没有时间常数，当从0增加到时，特性的相角不断减小，特性变化平滑。如果分子中存在时间常数，取决于这些时间常数的值，特性的相角可能不会在同一个方向上连续变化，然后特性可能会有一个凹的部分。如图5-13所示。
图5-13频带特征形状的各种变化
上述Nye曲线的高低频带规则只适用于开环传递函数的常数项和包含项都为正的情况。如果开环传递函数的表达式具有-1的常数项或的包含项，则奈奎斯特曲线的起点和终点的角度将根据-1的常数项或的包含项的数量而改变。具体规则如下：
(1)如果开环传递函数的表达式形式中常数项的个数为-1或包含项的个数为偶数，则朴素曲线的高低频带的规律与图5-12 (a)、(b)相同。
(2)如果开环传递函数表达式常数项为-1的个数为奇数，则奈奎斯特曲线的高频规律与图5-12(a)相同。低频带规则把图5-12(b)看成是与坐标轴(或原点)对称的镜像。
(3)如果开环传递函数表达式中的项数为奇数，奈曲线的低频规律与图5-12(b)相同。高频带规则把图5-12(a)当作一个对称的m
上式中，开环传递函数的一项为，v=1，即0时，奈奎斯特曲线从负虚轴开始，与曲线的低频带相同。当时，曲线的端点会从负实轴翻转到以虚轴为对称的正实轴。如图5-14(a)的右曲线所示。
(a)(b)
图5-14当开环传递函数的常数项为-1或包含项为奈奎斯特图时
例如，设类系统的开环频率特性为
()
上式中开环传递函数有一个常数项-1，m=1，n=3，所以 ()=(3—1) (-900)=-1800，即当时，朴素曲线以负实轴沿切线方向终止于原点，与曲线的高频段相同。当0时，曲线的起点会从负实轴翻转到具有原点对称性的正实轴。如图5-14(b)所示。但是中频曲线的形状发生了变化。
第3节奈奎斯特稳定性准则和稳定裕度
一、奈奎斯特稳定性判据的基本原理
奈奎斯特稳定性准则是利用系统的开环奈奎斯特曲线来判断闭环系统稳定性的准则，简称奈奎斯特准则。
奈准则不仅能判断闭环系统的绝对稳定性，还能指出闭环系统的相对稳定性，并进一步提出了改善闭环系统动态响应的方法。对于不稳定系统，Nye判据也能像routh判据一样准确回答系统有多少个不稳定根(闭环极点)。因此，奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有非常重要的地位，在控制工程中得到了广泛的应用。奈奎斯特判据的理论基础是复变函数论中的幅角原理。这里是基于幅角原理的奈奎斯特稳定性准则的基本原理。
1.特征函数f (s)=1g (s) h (s)与f平面
设负反馈控制系统的闭环传递函数为
(5-31)
等式右侧的分母1 G(s)H(s)定义为特征函数F(s)，即
(5—32)
设f (s)=0，即
(5—33)
上面的方程是闭环系统的特征方程。
式(5—31)、(5—32)和(5—33)中的G(s)H(s)是反馈控制系统的开环传递函数，设
(5—34)
A(s)——s的n阶多项式；
B(s)——s的m阶多项式。
特征函数F(s)可以写成
(5-35)
上式(j=1，2，…，n)中——F(s)的极点；
3354f (s)的零点(i=1，2，…，n)。
从公式(5-35)可以看出，F(s)的分母和分子都是n阶多项式，即特征函数F(s)的零点和极点个数相等。
对比式(5—31)、(5—34)、(5—35)可以看出，特征函数F(s)的极点是系统开环传递函数的极点，特征函数F(s)的零点是系统闭环传递函数的极点。因此，根据前述闭环系统稳定的条件，为了使闭环控制系统稳定，特征函数F(s)的全零点必须位于S平面的左半部分。
s的不同值对应于特征函数F(s)的不同值。特征F(s)的值是一个复数，可以用复平面上的一个点来表示。用来表示特征函数F(s)的复平面称为F平面，如图5-15 (b)所示。从图5-15可以看出，只要S平面上的点或曲线不是或不经过F(s)的极点[如果是，则F(s)是]，就可以根据公式(5-35)求出对应的F(s)并映射到F平面上，得到的图也是点或曲线。
图5-15从S平面到F平面的映射关系(保角变换)
(a)s平面；(b)平面f
2.振幅角原理和公式n=p-z
取图5-15 (a)中S平面上的一条闭曲线C，规定闭曲线C不经过F(s)的任何零点和极点，但包围F(s)的Z零点和P极点[如(I=1，2，…，Z)和(J=1，2，…)所示]
当S平面上的变化点S(见图5-15 (a))从封闭曲线C上的任意一点(设为A点)出发，沿曲线顺时针方向移动时，矢量和的幅值和相角都会发生变化。F平面上对应的映射点F(s)也会从某一点B[见图5-15 (b)]开始，沿闭合曲线向某一方向移动，最后返回到B点，F平面上的映射曲线3354在什么方向(顺时针或逆时针)圈出坐标原点，圈出原点多少次？这是下面要研究的问题。
在F平面上，取原点到曲线上B点的向量F(s)，如图5-15 (b)所示，那么根据振幅和角度原理，通过计算下面的表达式F(s)就可以解决上述问题。
(5—36)
向量F(s)的振幅角可以从上面的公式中获得，如下
(5—37)
当变点S在S平面上沿闭合曲线C顺时针移动时，曲线C包围的每个零点和每个极点的矢量和到变点S的幅度变化为3600(顺时针变化角为正)，而未被曲线C包围的所有其他零点和极点的矢量和的幅度变化为00，因此矢量F(s)的幅度变化为
(5—38)
在公式P——中，由闭合曲线c包围的特征函数F(s)的极点数；
Z——封闭曲线c包围的特征函数F(s)的零点个数。
向量F(s)的振幅角每改变3600(或-3600)，意味着向量F(s)的端点沿闭合曲线顺时针(或逆时针)绕坐标原点旋转。公式(5-38)表明，当S平面上的变点S顺时针方向绕闭曲线C时，F平面上对应的闭曲线将顺时针方向绕原点(Z-P)次。这就是上述待研究问题的答案。这个重要的性质可以概括为下式N=Z—P (5—39)
其中N——F平面上的闭合曲线围绕原点的次数；
P——s平面上闭曲线C包围的F(s)的极点个数；
平面Z——s上闭曲线C包围的F(s)的零点个数。
当n > 0时，表示F(s)的端点顺时针环绕坐标原点；
当n <0时，表示F(s)的终点逆时针环绕坐标原点；
当n=0时，就是F(s)终点的轨迹不围绕坐标原点的情况。
例如，图5-16显示了F平面上的一些封闭曲线。其中图5-16 (a)中的n=-2，即F(s)的端点轨迹绕原点两圈，图5-16 (b)和5-16 (c)中的n都为零。F(s)的端点轨迹不围绕坐标原点。
公式(5-39)也可以改写为
Z=P N (5—40)
公式表明，当已知特征函数F(s)[即已知开环传递函数G(s)H(s)]的极点在S平面上被闭曲线c包围的次数为p，已知向量F(s)在F平面上包围坐标原点的次数为n时，可以求出S平面上闭曲线c包围的特征函数F(S)的零点数(即闭环传递函数的极点数)。方程(5—40)是奈准则的重要理论基础。
图5-16由F(s)在F平面上的端点形成的闭合曲线
(a)N=2；(b)N=0；(c)N=0
3.奈斯勒轨迹及其映射。
为了使特征函数F(s)在S平面上的零点和极点的分布及其在F平面上的映射关系到控制系统的稳定性分析，必须适当选取S平面上的闭合曲线C。所以我们选择这样的闭曲线C，使得闭曲线C包围整个右半S平面。因此，方程(5-40)中的p值是开环传递函数位于右半S平面的极点数，而方程(5-40)计算的z值是闭环传递函数位于右半S平面的极点数。对于一个稳定的控制系统，很明显z值应该等于零。
围绕整个右半平面的闭合曲线如图5-17所示。它由整个虚轴和半径为的右半圆组成。变点S顺时针移动一次，这样的闭合曲线称为奈奎斯特轨迹。
奈奎斯特轨迹在F平面上的映射也是一条闭合曲线，如图5-18所示。对于图5-17中的全虚轴，由于S=J ，随着频率从-变为，变化点在全虚轴上移动，其在F平面上的映射为曲线F(j)( 从-)。对于不同的开环传递函数G(s)H(s)及其开环频率特性G(j)H(j)，有不同的F(j)曲线[F (J)=L ten G(j)H(j)]。在图5-18中，=0 对应的曲线用实线表示，=- 0对应的曲线用虚线表示，与实轴对称。对于图5-18s平面上半径为的右半圆，映射到F平面上的特征函数F(s)为
F ()=L ten G()H()(5—41)
图17s平面的奈奎斯特轨迹图18f平面的奈奎斯特曲线[F(j)曲线]
因为一般开环传递函数G(s)H(s)的分子阶M小于分母阶N(即G()H()总是零或常数，所以F ()=1或常数。这说明在S平面上半径为的右半圆包含了虚轴上坐标为j和-j的点，它们在F平面上的映射都是同一点，即图5-18上的D点。
综上所述，判断闭环系统是否稳定的方法可以描述为：Nessler轨迹在S平面中的映射F(j)在F平面上，当从-变为时，如果逆时针绕坐标原点的次数N等于位于右半个S平面中开环极点的个数P，即z=P N=0[见公式(5-40)]，则闭环系统稳定。
判断闭环系统稳定性的方法可以进一步简化。因为特征函数F(s)被定义为
F (s)=l十G(s)H(s)
将s=j 代入上式得到
F (J)=1十G(j)H(j)
将上面的公式改写为
G(j)H(j)=F(j)-l
公式表明，如果将F平面上的曲线F(j)左移一个单位，就可以得到GH平面上的G(j)H(j)曲线，这就是系统的纳氏曲线，如图5-19所示。
由于F平面坐标中F(j)的原点已移动到GH平面坐标中的点(-l，j0)，所以稳定性判断方法中向量F(j)环绕坐标原点的次数n应改为向量G(j)H(j)环绕点(-1，j0)的次数n，所以在公式(5—40)中
如前所述，为了使闭环系统稳定，特征函数f (s)=1的零点，十个G(s)H(s)应全部位于S平面的左半部分，即公式(5-40)中的Z应等于零，因此公式(5-40)应改为
-N=P(5-42)
方程是奈奎斯特稳定性准则的基本出发点。
图5-5—19GH平面的纳氏曲线
第二，奈奎斯特稳定性准则
1.奈奎斯特稳定性准则(1)
当系统的开环传递函数G(s)H(s)在S平面和虚轴的原点没有极点时(例如，0型系统)，奈奎斯特稳定性准则可以表示为：
(1)当开环系统稳定时，意味着开环系统的传递函数G(s)H(s)在右半个s平面内没有极点，所以公式(5-40)中p=0，如果从-变化时奈斯勒曲线G(j)H((j)不包围点(-1，j0)
(2)开环系统不稳定时，意味着系统开环传递函数G(s)H(s)的一个或多个极点位于S平面的右半部分，所以公式(5—40)中的P0如果对应于奈奎斯特曲线G(j)H(j)当从-即-n=p变化时，闭环系统按公式(5—40)或公式也是稳定的
如果奈奎斯特曲线恰好通过点(-1，j0)，这表明特征函数f (s)=10 G(s)H(s)在S平面的虚轴上有一个零点，即闭环系统在S平面的虚轴上有一个极点(具体地说，闭环极点是S平面的坐标原点)，那么闭环系统处于稳定边界，一般认为是不稳定的。
为了简单起见，奈的曲线G(j)H(j)通常只画出从0变化到的曲线的正的一半，曲线的另一半以实轴为对称轴。
应用奈奎斯特稳定性判据判断闭环系统稳定性的一般步骤如下：
(1)画出开环频率特性G(j)H(j)的奈奎斯特图。画的时候可以先画出从0到对应的一段曲线，再以实轴为对称轴画出 0对应的另一半。
(2)计算纳氏曲线G(j)H(j)围绕点(-1，j0)的次数N。为此可以从点(-l，j0)到奈奎斯特曲线G(j)H(j)上的点做一个向量，可以计算出从-0 转动时这个向量的净角度，用每360转的方法可以计算出n的值。
(3)位于S平面右半部分的开环极点数P由给定的开环传递函数G(s)H(s)确定。
(4)应用奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性。
[例5-2]设控制系统的开环传递函数为
尝试用奈准则来判断闭环系统的稳定性。
溶液G(j)H(j)的纳氏曲线如图5-20所示。从图中可以看出，当从- 0 变化时，G(j)H(j)曲线不包围点(-1，j0)，即n=0。所谓的点(-1，j0)没有被行进方向(即图5-20中的箭头方向)的右侧包围(行进方向为顺时针)。如果行进方向是逆时针的，看箭头方向的左侧是否包围该点(-1，j0)。开环传递函数G(s)H(s)的极点为-0.5，-l，-2，都位于S平面的左半部分，所以p=0。因此，从式(5-40)或式(5-42)可以看出，闭环系统是稳定的。
图5-20纳氏图5-2
[例5-3]设控制系统的开环传递函数为
尝试用奈准则来判断闭环系统的稳定性。
求解G(j)H(j)的纳氏图如图5-21所示。从图中可以看出，当从- 0 变化时，G(j)H(j)曲线(即Nye曲线)顺时针环绕点(-l，j0)两圈，即n=2。开环传递函数的极点为-1，-2，-3，右半个S平面没有极点，所以p=0，Z=N P=20。因此，从式(5-40)或式(5-42)可以看出，闭环系统是不稳定的。
[例5-4]设控制系统的开环传递函数为
尝试用奈准则来判断闭环系统的稳定性。
G(j)H(j)的解的纳氏图如图5-22所示。从图中可以看出，当从-0 变化时，G(j)H(j)环绕(-1，j0)的曲线逆时针指向两次，即n=-2，但开环传递函数G (S
图5-21情况5-3的纳氏曲线和图5-22情况5-4的纳氏图
2.奈奎斯特稳定性准则(2)
实际控制系统的开环传递函数往往有位于S平面虚轴上的极点，特别是位于原点上的极点是经常遇到的(例如I型系统，II型系统，…)，即系统的开环传递函数将表示为
(5-43)
v——开环传递函数中原点的极点数量。
这样，图5-17中描述的奈斯勒轨迹会经过开环传递函数的极点【公式(5-43)中的极点s=0，是S平面内的原点】。在前面的讨论中，我们规定了Nessler轨迹不能通过开环传递函数G(s)H(s)的极点和零点，因此，如果开环传递函数G(s)H(s)具有，则S平面上的闭合曲线的形状必须通过绕过原点上的极点并从闭合曲线中排除这些点来改变。然而，闭合曲线仍然包围右半S平面中的所有零点和极点。因此以原点为圆心做一个半径为无穷小的直角半圆，使纳氏轨迹沿着这个无穷小的半圆绕过原点，如图5-23所示。从图中可以看出，修正后的尼斯勒轨迹将
(5-44)
从-900到900，通过0，将方程(5—44)代入方程(5—43)。考虑到S是一个无穷小的向量，我们可以得到
(从-900 0 900) (5-45)
从上式可以看出，无穷小的右半圆在G(s)H(s)平面上原点附近的映射是一条半径无限大的圆弧，从角度为v90的点(即j0—)开始，经过0到-v90的点(即j0—)顺时针结束。
图5-23尼斯勒在原点围绕极点的轨迹
(a)经修改的奈基因座；(b)无限小半圆的放大图
目前，不同类型的系统(I型系统、II型系统……)讨论如下：
(1)I型系统
由于I型系统的V=1，开环奈斯勒曲线G(j)H(j)从-0—和0变化，如图5-24虚线段和实线段所示。公式(5-45)描述的半径为的圆弧从G(j)H(j)曲线上=0—(-)的点开始，顺时针到达=0 ten ()的点。对应的幅度从-v=90变化到-v=-90[见公式(5-45)，-9090]。这个半径为的圆弧是图5-23 (b)所示原点附近半径为无穷小的右半圆在S平面上的映射。这种半径为的圆弧也称为奈氏曲线的“补充段”，补充段后的整条曲线称为补充开环奈氏曲线。
图5-24型系统的纳氏曲线
(2)第二类系统
II型系统的V=2与上述分析类似，只是此时奈氏曲线的补充段是从=0-(-v=180)顺时针到=0-180(-v=-180)的半径无穷大的圆弧，如图5-25所示。
图5-25型系统的纳氏曲线
如果系统的开环传递函数包含无阻尼振荡，那么在S平面(根平面)的虚轴上存在开环共轭极点，可以视为原点存在开环极点。
考虑到S平面虚轴上有开环极点的更一般情况，奈奎斯特稳定性判据的另一种描述是，如果加上开环奈奎斯特曲线G(j)H(j)，当从-变化时，逆时针包围(-1，j0)点的次数N等于位于右半个S平面的开环极点P的个数，则闭环系统稳定，否则不稳定。这种描述被定义为奈奎斯特稳定性准则2。与奈的准则相比，它只有“补充”二字。因此，对于型系统、型系统等。只要作出系统的补充开环奈斯勒曲线，其判断稳定性的方法与奈斯勒判据法相同。
[例5-5]设控制系统的开环传递函数为
试试奈氏判据2，判断其闭环系统的稳定性。
溶液系统为I型系统，其补充开环纳氏曲线如图5-26所示。从图中可以看出，当从-变化时，G(j)H(j)的补充纳氏曲线顺时针环绕点(-1，j0)两次，即n=2。而开环传递函数在右半S平面上没有极点，即p=0，所以N-P，所以闭环系统是不稳定的。
图5-26示例5-5的补充纳氏曲线
[例5-6]设控制系统的开环传递函数为
试试奈氏判据2，判断其闭环系统的稳定性。
该溶液体系为型体系，其补充纳氏曲线如图5-27所示。从图5-27可以看出，当从-变化时，G(j)H(j)曲线不包围点(-1，j0)，即N=0，开环传递函数在右半S平面上没有极点，即P=0，所以N=P .因此，闭环系统是稳定的。
图5-27实施例5-6的补充纳氏曲线
3.极点在S平面左半部分的系统开环传递函数的稳定性判据。
在这种情况下，系统称为开环稳定，也称为最小相位系统，即p=0。此时，奈准则可以简单表述为：若奈曲线(或补充的奈曲线)不包围该点(-l，j0)，则闭环系统稳定。否则会不稳定。这时作图步骤也可以简化，只要奈氏曲线(或补充的奈氏曲线)的从0到的一半即可，因为不需要计算围合的次数(-1，j0)。
图5-28描述了开环稳定(即最小相位系统)0型、I型和II型系统的奈奎斯特图。图5-28 (a)所示的奈斯勒曲线不包围该点(-1，j0)，因此其闭环系统是稳定的。图5-28 (b)所示的奈斯勒曲线不包围该点(-1，j0)，因此其闭环系统也是稳定的。图5-28 (c)所示的纳氏曲线围绕着点(-1，j0)，所以它的闭环系统是不稳定的。
图5-28简化的奈奎斯特图绘制和稳定性判别示例
(a)0型系统；(b)一型系统；第二类系统
4.用奈准则确定稳定系统的可变参数范围。
如果系统中有某个参数(或几个参数)可以在一定范围内取值，则可以根据奈氏判据的要求选择其取值的范围，即为了使闭环系统稳定，可以根据奈氏曲线通过(-l，j0)点这一条件来选择参数。这里有一个例子。
[例5-7]提供了一个如图5-29所示的闭环控制系统。为了稳定闭环系统，比例控制器的Kp范围(KP > 0)由Nye准则确定。设受控对象的传递函数为
图5-29闭环控制系统
该解决方案的开环传递函数为
开环频率特性为
实频率特性和虚频率特性是
假设纳氏曲线[G(j)H(j)曲线]通过点(-1，j0)，得到临界稳定性，如图5-30所示。这时，
通过求解上述两个公式，可以得到
根据纳氏判据，当时n=0，p=0。因此，闭环系统是稳定的，所以Kp的取值范围应为
图5-30情况5-7的纳氏曲线
5.时滞系统的稳定性分析。
对于有延迟的控制系统，开环传递函数包括延迟的传递函数，所以开环传递函数一般用以下公式描述
(5-46)
将公式改写成
(5—47)
在公式(5-48)中
是一个没有延迟的传递函数。
系统的开环频率特性可以表示为
(5—49)
G(j)H(j)的幅值和相角分别为
(5-50)
公式表明，当从0变到时，幅值不变，但相角在每个处顺时针旋转 。
在控制系统中，当时，的模(幅)一般接近于零(因为公式(5-48)中m一般
图5-31带延迟链路的奈奎斯特图
(a)的奈伊曲线和(b)的奈伊曲线
[例5-8]设控制系统的开环传递函数为
其中=0，2，4。试着画出各自的奈伊曲线，分析闭环系统的稳定性。
求解=0，2，4时，控制系统的纳氏曲线如图5-32所示。从图中可以看出，当=0时，意味着系统没有延迟环节，不包围点(-l，j0)，所以闭环系统是稳定的。当=2时，曲线刚好通过点(-1，j0)，所以闭环系统处于稳定边界(也称临界稳定，一般认为是不稳定)。当=4时，曲线围绕点(-l，j0)，所以闭环系统是不稳定的。从这个例子可以看出，延迟环节的存在将不利于系统的稳定。延迟时间越大，越容易使系统不稳定。
图5-32不同延迟时间的奈奎斯特曲线
第三，用频域法分析了系统的相对稳定性。
控制系统的稳定性可以用各种稳定性判据来判断，如时域分析中的Routh-Hurwitz判据和频域分析中的Nyquist判据。但这些方法只能判断系统是否稳定，即系统的绝对稳定，而不能判断系统稳定的程度，即系统的相对稳定。在分析或设计一个实际生产过程的控制系统时，仅仅知道系统是否稳定是不够的，还需要知道系统的动态性能，即系统的相对稳定性是否满足生产过程的要求。因为一个稳定但受扰时不稳定的系统是无法投入实际使用的，所以我们总是希望设计的控制系统不仅稳定，而且有一定的稳定裕度。在讨论稳定裕度问题之前，首先要假设开环系统是稳定的，或者说系统是最小相位系统，即开环传递函数在右半S平面内没有极点和零点，否则讨论稳定裕度问题没有意义。
根据Nye准则，如果系统的开环传递函数在右半S平面上没有极点，则闭环系统稳定的充要条件是系统的开环幅相频率特性不包围(-1，j0)点。
例如，图5-33显示了系统开环频率特性的极坐标图。从例5-7可以看出，当时的纳氏曲线并不包围该点(-l，j0)，如图5-33的曲线A所示。此时闭环系统是稳定的。当时，奈斯勒曲线包围了该点(-1，j0)，如图5-33中曲线C所示。此时，闭环系统不稳定。
图5—33 的极坐标图 （1）．相位裕量(PhaseMagin——常简写为PM) 设一稳定系统的奈氏曲线[曲线]与负实轴相交于G点，与单位圆相交于C点，如图5—34所示。C点处的频率称为增益穿越频率，又称为剪切频率。处的相角与-1800(负实轴)的相角差称为相位裕量PM，即 （5-51） 注意，上式中本身是负的。 当＞0时，表示相位裕量是正的；＜0时，表示相位裕量是负的。为了使闭环系统稳定，要求相位裕量是正的，如图5—34所示。图5—35描述了不稳定系统的奈氏曲线图。从图中可以看出，大于1800而本身又为负，所以相位裕量PM()为负数，即＜0，所以闭环系统是不稳定的。 （2）．增益裕量(GainMargin——常简写为GM) 当奈氏曲线与负实轴相交于G点时，如图5—34所示，G点的频率称为相位穿越频率，又称为相位交界频率。这时处的相角，幅值为。定义 的倒数为增益裕量GM，并用表示，即 (5-52) 上式中，满足下式 (5-53) 当＜1，也即＞1时，闭环系统是稳定的，用(+)表示，如图5—34所示。当＞l，也即＜l，如图5—35所示，闭环系统是不稳定的，用(-)代表。 图5—34 稳定系统的奈氏曲线 图5-35 不稳定系统的奈氏曲线 第四节 频率特性的对数坐标图（Bode图） 一、基本概念 频率特性极坐标图示的奈氏曲线，计算与绘制都比较麻烦。频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。与极坐标图相比，对数坐标图更为优越，用对数坐标图不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现时间常数等参数变化对系统性能的影响。 频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性写成 (5—54) 式中——幅频特性；——相频特性。 将幅频特性取以10为底的对数，并乘以20得，单位为分贝(dB)，即 (dB) (5—55) 与的函数关系称为对数幅频特性，如图5—36(a)所示。图中是以为纵坐标，以频率为横坐标，但是横坐标用对数坐标分度，这是因为系统的低频特性比较重要，轴采用对数刻度对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分方便，则用线性分度(等刻度)，这样就形成了一种半对数坐标系。 图5-36 对数频率特性图(伯德图) (a)对数幅频特性；(b)对数相频特性 在对数相频特性图中，以为纵坐标，以为横坐标，横坐标也是以对数分度，纵坐标用等刻度分度。这样，与对数幅频特性一样，也形成一个半对数坐标系。如图5—36(b)所示，将对数幅频特性一和对数相频特性一合称为对数频率特性图，又称为伯德图(Bode图)。 为了方便地绘制对数频率特性图(以后简称伯德图)。我们使用十倍频程(decade简写dec)，倍频程(octave)以及对数幅频特性的“斜率”的概念。 图5-37 对数坐标 所谓“十倍频程”，是指在轴上对应于频率每增大十倍的频带宽度，如图5-37所示。由于图中的横坐标按对数分度，于是ω每变化10倍，横坐标就增加一个单位长度，例如从0．1—1或从1—10等频带宽度，都是十倍频程，可见，横坐标对ω而言是不均匀的，但对来讲却是均匀的。每个十倍频程中，ω与的对应关系如表5-1所列。所有十倍频程在轴上对应的长度都相等，(例如 1gl—1g0．1＝1，1g10—1g1＝1，…)。 表5-1 ω从1到10的对数分度 所谓倍频程，是指在轴上，从1—2或从2—4…等的频带宽度。所有倍频程在轴上对应的长度也相等(例如 1g2—1g1＝0．301，1g 4—1g 2＝0．301…)。 对数幅频特性的“斜率”是指频率改变倍频或十倍频时L()分贝数的改变量，单位是dB／octave (分贝/倍频)或dB／dec(分贝/十倍频)，一般dB／octave较少采用，常用的是dB／dec。图5-37中纵坐标，称为增益。每变化10倍，就变化20分贝（dB）。“斜率”的概念在具体绘制伯德图时很有用。 使用对数频率特性表示法的第一个优点是在研究频率范围很宽的频率特性时，缩小了比例尺，在一张图上，即画出了频率特性的中、高频段，又能清楚地画出其低频段，因为在设计和分析系统时，低频段特性相当重要。 使用对数频率特性表示法的第二个优点是可以大大简化绘制系统频率特性的工作。由于系统往往是许多环节串联构成，设各个环节的频率特性为 则串联后的开环系统频率特性为 式中 由于，利用对数坐标图绘制开环幅相频率特性十分方便，它可以将幅值的相乘转化为幅值的相加，并且可以用渐近直线来绘制近似的对数幅值L()曲线。如果需要精确的曲线，则可在渐近直线的基础上加以修正，这也是比较方便的。 二、典型环节频率特性的伯德图 1．比例环节(K) 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是 (5—56) 当K＞1时，则＞0，故一曲线是一条位于轴上方的平行直线；当K＝1时，＝0，故一曲线就是轴线。由于，所以一曲线就是轴线。综上所述，比例环节的伯德图如图5-38所示。 图5—38 比例环节的伯德图 2．积分环节和微分环节(s) 积分环节的对数幅频特性和对数相频特性为 (5—57) 由于伯德图的横坐标按刻度，故式(5—57)可视为自变量为，因变量为的关系式，因此该式在半对数坐标图上是一个直线方程式。直线的斜率为—20(dB／dec)。因＝1时，—20＝0，故有＝0，即该直线与轴相交于＝1的点，如图5—39上斜率为—20(dB／dec)的直线。积分环节的相频特性是(见式(5—57))。相应的对数相频特性是一条平行于轴下方的水平线，如图5—39下图所示。 图5—39 积分环节和微分环节(s)的伯德图 微分环节(s)是积分环节的倒数，所以很容易求出它的对数幅频特性和相频特性。它们分别是 (5—58) 从式(5—58)可以看出，微分环节的对数幅频特性和对数相频特性都只与积分环节相 差一个“负”号。因而微分环节和积分环节的伯德图对称于轴，如图5—39的+20(dB／dec)斜线(幅频特性曲线)和+900的平行直线(相频特性曲线)。 3．一阶惯性环节和比例微分环节 一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性分别为 (5—59) 绘制一阶惯性环节的幅频特性曲线，不需要将不同的值代人式(5—59)逐点计算，可用渐近线的方法先画出曲线的大致图形，然后再加以精确化。 (1)当＜＜1时，(低频时)，则由式(5—59)可得 (dB) 上式表明，一阶惯性环节的低频段是一条零分贝的渐近线，它与轴重合，如图5—40所示。 (2)当＞＞1时， (高频时)，则由式(5—59)可得 (dB)(5—60) 上式中，当＝l时 当＞＞1时，式(5—60)可进一步近似为 (5—61) 上式为一条斜率是—20(dB／dec)的直线。这表明，一阶惯性环节在高频段(＜＜∞范围内是一条斜率为—20dB／dec，且与轴相交于＝的渐近线(见图5-40)，它与低频段渐近线的交点为＝，这时的称为转角频率。这里，T是惯性环节的时间常数，所以转角频率也很容易求得。求出转角频率后，就可方便的作出低频段和高频段的渐近线。由于渐近线接近于精确曲线。因此，在一些不需要十分精确的场合，就可以用渐近线代替精确曲线加以分折。在要求精确曲线的场合，需要对渐近线进行修正。由于渐近线代替精确曲线的最大误差发生在转角频率处，因此可将＝代入式(5—59)，可得精确值为 近似值为＝0，所以误差为-3(dB)。 在转角频率左、右倍频程处及的误差如下： (1)在＝，即＝2处，精确值为 近似值为 [参见式(5—61)] 误差值为 (2)在＝，即＝0．5处，精确值为 近似值为 误差值为 用同样的方法，可以计算出其他频率处的误差值，如图5—41所示。由图可以看出，误差值相对于转角频率是对称的。将图5—41的误差值加到渐近折线上，就可得到图5—40粗实线(幅频特性曲线)表示的精确的对数幅频特性曲线。 图5—40 惯性环节的伯德图 图5—41 一阶惯性环节的对数幅额特性曲线采用渐近线时的误差值 作一阶惯性环节的相频特性曲线没有近似的办法，但也可定出＝、＝、、、等点，用曲线板把各点连接起来，如图5—40下图所示。它是对的点斜对称的一条曲线。 比例微分环节的对数幅频特性和相频特性为 (5—62) 将式(5—62)与式(5—59)对比可知，比例微分环节与一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性只相差一个“负”号，因而比例微分环节和一阶惯性环节的伯德图对称于轴，如图5-42所示。 图5-42 比例微分环节的伯德图 4．二阶振荡环节和二阶微分环节 二阶环节中参数(阻尼比)如果大于l，则可用两个一阶惯性环节和 的乘积来表示。或两个一阶微分环节和的乘积来表示。如果0＜＜1，则成为二阶振荡环节或二阶微分环节。由于二阶振荡环节和二阶微分环节互为倒数(只相差一常数)。所以只要讨论其中的一个，就可以方便地得到另一个的对数幅频特性和相频特性(如上两小节的积分环节对微分环节，一阶惯性环节对比例微分环节，只要画出对称于轴的伯德图即可)。现着重讨论常见的二阶振荡环节的伯德图的绘制方法。 二阶振荡环节的幅相频率特性为 式中 所以，二阶振荡环节的对数幅频特性和相频特性为 (5—63) 依照一阶惯性环节的方法，先求出二阶振荡环节的对数幅频特性的渐近线。 (1)当时，(低频段)，由式(5—63)可得 上式表明，低频段的渐近线为一条零分贝的直线，它与轴重合。 (2)当时，(高频段)，由式(5—63)可得 上式表明，高频段的渐近线为一条斜率为—40(dB／dec)的直线，它与轴相交于的点。 以上两条低频段和高频段的渐近线相交处频率，称为二阶振荡环节的转角频率，两条渐近线与转角频率如图5—43(a)所示。 图5—43 二阶振荡环节的伯德图 二阶振荡环节对数幅频特性的精确曲线可以按式(5—63)计算并绘制。显然，精确曲线随阻尼比的不同而不同。因此，渐近线的误差也随的不同而不同。不同值时的精确曲线如图5—43所示。从图中可以看出，当值在一定范围内时，其相应的精确曲线都有峰值。这个峰值可以按求函数极值的方法由式(5—63)求得。渐近线误差随不同而不同的误差曲线如图5—44所示。从图5—44可以看出，渐近线的误差在附近为最大，并且值越小，误差越大。当→0时，误差将趋近于无穷大。 图5—44 二阶振荡环节幅频特性的误差曲线 二阶振荡环节的相频特性的计算由式(5-63)可知，它也和阻尼比有关，这些相频特性曲线如图5—43 (b)所示。由图5—43(b)可以看出，它们都是以转角频率处相角为的点为斜对称。 二阶微分环节的对数幅频和相频特性都与二阶振荡环节的特性对称(以轴为对称轴)，这里不再赘述。 5．延迟环节 延迟环节的幅相频率特性为 其幅频和相频特性为 (5—64) 所以对数幅相频率特性为 其对应的伯德图如图5—45所示。从图5—45可以看出,延迟环节的对数幅频特性曲线为＝0的直线，与轴重合。相频特性曲线当→∞时，。 图5-45 延迟环节的伯德图 三、系统开环伯德图的绘制 [例5—9]设系统的开环传递函数为 试绘制开环对数频率特性图(伯德图)。 解 从系统的开环传递函数可知，系统由比例环节(4)、积分环节、惯性环节、比例微分环节和二阶振荡环节等5个典型环节所组成，除比例环节和积分环节无转角频率外，其余三个典型环节的转角频率依大小排列分别为。因此，可将开环频率特性按以下次序排列来绘制伯德图 ① ②③ ④ ⑤ 其中环节③，④，⑤的转角频率依次为0．5，2和8。 将开环传递函数分成5个典型环节相乘后，可得开环对数幅频特性和相频特性分别为 上式中，二阶振荡环节(环节⑤)的参数为 各环节及开环系统的伯德图均表示在图5—46的半对数坐标系上。 将一叠加，即可求得开环对数幅频特性曲线，如图5—46(a)所示的实线。 图5-46 例5—9的伯德图 绘制开环对数相频特性曲线时，先作出各环节的相频特性曲线一，然后进行代数相加，如图5—46(b)所示的。 如果要求得到精确的对数幅频特性，可在各转角频率处根据图5—41和图5—44加以修正。 由上述例题可见，串联环节的对数幅频特性也可以直接绘出。从典型环节的对数幅频特性可见，在低频段，惯性、振荡和比例微分等环节的低频渐近线，均为零分贝线。因此，对数幅频特性的低频段主要取决于比例环节和积分环节(理想微分环节一般很少出现)。而在＝1处，积分环节为过零点，因此在＝1处，对数幅频特性的高度仅取决于比例环节。即，此时的斜率，则主要取决于积分环节的多少，每多一个积分环节，则斜率便降低—20dB／dec。若有V个积分环节，则在＝1处的斜率便为—20VdB／dec。在确定了低频段以后，往后若遇到一阶惯性环节，经交接频率，的斜率便降低—20dB／dec；遇到二阶振荡环节，过交接频率，则斜率便降低—40dB／dec；若遇到比例微分环节，过交接频率，则斜率增加+20dB／dec。这样，掌握了以上规律，就可以直接画出串联环节的总的渐近对数幅频特性。其步骤是： ① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。即各典型环节传递函数的常数项为1。 ② 根据比例环节的值，计算。 ③ 在半对数坐标纸上，找到横坐标为＝1、纵坐标为的点，过该点作斜率为—20VdB／dec的斜线，其中V为积分环节的数目。 ④ 计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列原则依次改变的斜率： 若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB／dec； 若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB／dec； 若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB／dec。 ⑤如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。 [例5—10] 绘出开环传递函数为 的系统开环对数频率特性。 解：将中的各因式换成典型环节的标准形式，即 如果直接绘制系统开环对数幅频特性渐近线，其步骤如下： (1)转折频率＝1，＝2，＝20。 (2)在＝l处，。 (3)因第一个转折频率＝1，所以过(＝1，)点向左作一20dB／dec斜率的直线，再向右作一40dB／dec斜率的直线交至频率＝2时转为一20dB／dec，当交至＝20时再转为一40dB／dec斜率的直线，即得开环对数幅频特性渐近线，如图5—47所示。 图5—47 例5—10系统开环对数频率特性 系统开环对数相频特性： 对于相频特性，除了解它的大致趋向外，最感兴趣的是剪切频率时的相角，而不是整个相频曲线，本例中时的相角为 四、最小相位系统和非最小相位系统 如果系统的开环传递函数在右半s平面上没有极点和零点，则称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统是最小相位系统 (均为正数) 开环传递函数在右半s平面上有一个(或多个) 极点和零点，称为非最小相位传递函数(若开环传递函数有一个或多个极点位于右半s平面，这意味着开环不稳定)。具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统为非最小相位系统 (均为正数) (均为正数) 和都具有相同的幅频特性，即幅频特性都是 但它们的相频特性却大大不同；设和的相频特性分别为和， 则 当＝0时 当→∞时 对于最小相位系统来说，当从0→∞时的相角变化为 对于非最小相位系统来说，当从0→∞时的相角变化为 显然，最小相位系统的相角变化为最小。 自动控制系统中迟延环节是最常见的非最小相位传递函数。例如上述的包含了延迟环节。当延迟时间比较小的时候，可近似为 (泰勒级数展开取前两项)(5—65) 因此，对而言，延迟环节若按式(5—65)近似，则 当＝0时 当→∞时 当从0→∞时，相角变化为 所以它具有非最小相位系统的特性。如果要对求取精确的相角变化，则可对 求取相频特性 当＝0时 当→∞时 由此得相角变化为 对控制系统来说，相位纯滞后越大，对系统的稳定性越不利，因此要尽量减小延迟环节的影响和尽可能避免有非最小相位特性的元件。 第五节 用开环频率特性分析系统的性能 一、系统开环对数频率特性与闭环稳定性的关系 1、 用伯德图确定稳定裕量 在第三节中用奈奎斯特图定义的相位裕量和增益裕量也可以在伯德图上确定。与奈奎斯特图5—34对应的稳定系统的伯德图如图5—48所示。 图5—48 稳定系统的伯德图图5—49 不稳定系统的伯德图 图5—34中的增益穿越频率在伯德图中是对应的零分贝的点，即开环对数幅频特性曲线与轴的交点如图5—48所示。图5—34中相位穿越频率的点在伯德图中是对应相角为—1800的点，即相频特性曲线与—1800水平线的交点，如图5—48的下部分所示。从图5—48 还可以看出，相频特性曲线上对应于增益穿越频率的点位于—1800水平线的上方，即 ，所以相位裕量是正的，用来代表。 在伯德图中，增益裕量通常用分贝数来表示，即 (5—66) 上式中的是指奈氏图表示增益裕量的，(dB)表示的是伯德图上的增益裕量。 对于稳定系统， (见图5—34)，所以为 负，由式(5—69)可知，增益裕量GM＝(dB)是正的，我们称增益裕量是正的，用(+)来表示。这时对数幅频特性曲线上对应的点()在轴的下方，如图5—48所示。 对于不稳定系统，在伯德图上表示相位裕量和增益裕量(dB)，可用上述同样的方法参照图5—35的奈氏图来对应确定，如图5—49所示。由图5—49可以看出，这时相位裕量和增益裕量(dB)都是负的，因为这时，，图5—49中分别用和来表示。 增益裕量和相位裕量通常作为设计控制系统的频域性能指标。大的增益裕量和大的相 位裕量表明，控制系统可以非常稳定，但通常这种系统响应速度较慢，增益裕量GM接近于l，或相位裕量接近于零，则对应是一个高度振荡的系统。实践表明，当GM和PM在下列范围内取值时，控制系统一般可以得到较为满意的动态性能。 2、 伯德定理简介 Bode定理对于判定所谓最小相位系统的稳定性以及求取稳定裕量，是十分有用的。在这里，只定性地介绍定理的涵义，而不引用严格的数学表达式。有兴趣的读者可参阅有关文献。 Bode定理的主要内容概括如下： (1)线性最小相位系统的幅频特性是一一对应的。具体说，当给定整个频率区间上的对数幅频特性(精确特性)的斜率时，同一区间上的对数相频特性就被唯一地确定了。同样地，当给定整个频率区间上的对数相频特性时，同一区间上的对数幅频特性也被唯一地确定了。 (2)在某一频率(例如剪切频率)上的相位移，主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率；离该频率越远，斜率对相位移的影响越小。某一频率上的相位移与同一频率上的对数幅频特性的斜率的大致对应关系是：的斜率对应于大约的相位移，这里n＝0，1，2，…。例如，如果在剪切频率上的对数幅频特性的渐近线的斜率是一20dB／dec，那么上的相位移就大约接近；如果上的幅频渐近线的斜率是一40dB／dec，那么该点上的相位移就大约接近。在后一种情况下，闭环系统或者是不稳定的，或者只具有不大的稳定裕量。 在实际工程中，为了使系统具有相当的相位裕量，往往这样设计开环传递函数：使幅频渐近线以一20dB／dec的频率通过剪切点，并且至少在剪切频率的左右，从到2的这一段频率范围内保持上述渐近线的斜率不变。 图5—50所示即为满足上述要求的例子。关于反馈控制系统的设计与校正方法，将在下一章里详细讨论。但就这个例子来说，在~2这一频率范围内保持幅频渐近线斜率为一20dB／dec，而在此范围两侧都具有一40dB／dec的斜率的情况下，再绘出相频特性，可以看出剪切频率处的相位裕量约为，因此对应的谐振峰值。 图5—50 使幅频渐近线以一20dB／dec斜率通过剪切点的例子 二、系统开环对数频率特性与闭环稳态误差的关系 从第三章可知，对于一定的输入信号，控制系统的稳态误差与系统的类型及开环放大系数有关。给定了系统的开环对数频率特性曲线(例如，可以由实验求出)，便可根据其低频段的斜率与位置确定这一系统的类型、误差系数和稳态误差。下面分别介绍根据开环对数幅频特性曲线确定0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳态位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数的方法。 1．0型系统 设0型系统的开环幅相频率特性为 其对数幅频特性为 在低频段（）(5—67) 是一条高度为平行于轴的直线。高频段()是一条斜率为 的直线。两条渐近线的转角频率为。对数幅频特性如图5—51所示。从图中可以看出，0型系统的对数幅频特性在低频段有如下特征： (1)低频段渐近线斜率为0(dB／dec)，高度为； (2)如果已知幅频特性曲线低频段的高度，就可由式(5—67)求出位置误差系数，从而可求出系统的稳态误差。 图5—51 0型系统的对数幅频特性 2．Ⅰ型系统 设Ⅰ型系统的开环幅相频率特性为 其对数幅频特性为 在低频段() (5—68) 上式中，是一条高度为的水平线，平行于轴。是斜率为—20(dB／dec)的直线。所以曲线低频段斜率为一20(dB／dec)。又因＝l时，；＝时，＝0；转角频率。由此可得Ⅰ型系统的对数幅频特性曲线，如图5—52所示。其中，图5—52(a)所示为转角频率大于的情况，图5—52(b)所示为转角频率小于的情况。从图中还可以看出，经转角频率以后的高频段斜率为—40(dB/dec)。 图5—52 Ⅰ型系统的对数幅频特性 （a）转角频率大于；(b) 转角频率小于 Ⅰ型系统的对数幅频特性曲线在低频段有以下特征： (1)渐近线斜率为—20(dB／dec)； (2)渐近线(或其延长线)与0(dB)线(即轴)的交点为＝，由此可以求出系统的稳态速度误差系数，从而进一步可求出系统的稳态误差； (3)渐近线(或其延长线)，在＝1时的幅值为，由此也可以求得速度误差系数，从而可求出稳态误差。 3．Ⅱ型系统 设Ⅱ型系统的开环幅相频率特性为 其对数幅频特性为 在低频段() (5—69) 上式中，为水平线，是一条斜率为—40(dB／dec)的直线，所以曲线的低频段斜率为一40(dB／dec)。又因＝1时，；时，＝0；转角频率为；由此可得Ⅱ型系统的对数幅频特性曲线如图5—53所示。其中图5—53(a)所示为转角频率大于的情况，图5—53(b)所示为转角频率小于的情况。从图5—53还可以看出，转角频率以后的高频段斜率为—60(dB／dec)。 图5—53 2型系统的对数幅频特性 (a) ＞；(b) ＜ Ⅱ型系统对数幅频特性的低频段有以下特征： (1)渐近线的斜率为—40(dB／dec)； (2)渐近线(或其延长线)与0(dB)的交点为＝，由此可以求出系统的稳态加速度误差系数，从而可以求出系统的稳态误差。 (3)渐近线(或其延长线)在＝l时的幅值为，由此也可以求出系统的稳态加速度系数及稳态误差。 三、开环对数频率特性与系统时域性能之间的关系 在分析系统的伯德图时，常将它分成如图5—54所示的三个频段(图中省略了相频特性图)。低频段反映了系统的稳态性能，中频段反映了系统的动态性能，控制系统的动态性能是我们最关心的问题，下面将详细介绍中频段与时域性能的关系，高频段则反映了系统抗高频干扰的能力，对系统的动态性能影响不大，将不作深入分析。 图5—54 对数幅频特性曲线的三个频段的划分 1．伯德图的对数幅频特性曲线中频段(剪切频率附近的频段)与系统动态性能的关系 中频段的参数主要有：剪切频率、相位裕量以及中频段宽度h。一般来说，我们希望剪切频率附近的斜率为—20(dB／dec)，如图5—54所示。图中两边两个转角频率为和。所谓中频段宽度h定义为 (5—70) 下面用一具体的例子来说明中频段特性与时域性能的关系。设一系统的开环频率特性为 (5—71) 当K＝10时，式(5—71)的对数幅频特性曲线如图5—55所示的曲线a。剪切频率在斜率为—40(dB／dec)的区段内，对照图5—55下部的相频特性曲线可知，相位裕量为，因此闭环系统是稳定的。若开环放大系数K值减小，则对数幅频特性曲线向下垂直移动。这时剪切频率向左移动[注意，K变化时，系统的相频特性曲线不变]。由图5—55可知，相位裕量将增大。当剪切频率移至斜率为—20(dB／dec)的区段内时，相位裕量将更大，如图5—55的曲线b所示。反之，增大开环放大系数K，剪切频率将向右移动，相位裕量将减小，当移至＝时(为相位穿越频率)，＝0，闭环系统处于临界稳定。当＞时，＜0，这时，对数幅频特性曲线的中频段斜率为—40(dB／dec)，如图5—55曲线c所示。因这时为负值，所以闭环系统已不稳定了。如果开环放大系数K继续加大，使剪切频率落在对数幅频特性曲线斜率为—60(dB／dec)的区段内，如图5—55曲线d所示。这时相位裕量“负”得更历害，系统将更加不稳定。 图5—55 的伯德图 下面再以典型的二阶系统为例，说明对数幅频特性曲线的参数与时域特性的关系。图5—56给出了典型二阶系统的结构图、对数幅频特性图和时域的阶跃响应曲线。由图5—56 (a)可知，二阶系统的开环传递函数为 (5—72) 图5—56 二阶Ⅰ型系统的结构图、对数幅频特性曲线和阶跃响应曲线 (a)结构图；(b)的对数幅频特性曲线和阶跃响应曲线； (c) ；（d） 对照标准二阶系统的开环传递函数 可得式(5—72)的自然振荡频率和阻尼比分别为 (5—73)） 由式(5—73)可知 （1）当时，，如图5—56(b)所示，阶跃响应是衰减较慢的振荡过程。 (2)当时，，如图5—56(c)所示，阶跃响应是衰减较快的振荡过程。 (3)当时，，如图5—56 (d)所示，阶跃响应是接近无振荡的非周期过程。当时，，阶段响应为无超调的非周期过程。 由以上分析可以得出如下结论：为使系统的阶跃响应无超调量或超调很小，应使图5—56中的剪切频率位于斜率为—20(dB／dec)的线段上，并且要求有一定的中频段宽度h见式(5—70)及图5—54]。中频段越宽，阶跃响应(时域特性)越接近非周期过程。 2．频域性能指标——相位裕量与时域性能指标——超调量和调整时间的定量关系 对于一般的生产过程控制系统来说，最主要的时域性能指标是超调量和调整时间，现分别讨论这两种主要时域性能指标与相位裕量的定量关系如下： (1)相位裕量与超调量之间的定量关系 由于二阶系统比较简单，容易求出精确的定量关系。当高阶系统有一对主导极点时(有时也可人为产生一对主导极点)，二阶系统分析的结论也可以推广应用到这样的高阶系统中去，因此分析二阶系统的频域性能指标与时域性能指标间的定量关系，具有一定的普遍意义。 二阶系统开环传递函数的标准形式为 开环频率特性为 图5—57 二阶系统开环对数幅频特性 当取不同值时的开环对数幅频特性如图5—57所示，当时的幅值为 (—剪切频率) 或写成 由上式进一步可得 因而可得 (5一74) 当时的相角为 相位裕量为 (5—75) 将式(5—74)代人式(5—75)得 (5—76) 上式即为相位裕量与阻尼比之间的定量关系。按式(5—76)的定量关系可绘成 曲线，如图5-58所示。 图5—58 二阶系统相位裕量和阻尼比的关系 图5—59 、与的关系曲线 在前面第三章已知，超调量和阻尼比之间的定量关系为 (5—77) 将式(5—76)和式(5—77)的函数关系，以为横坐标，和为纵坐标，绘制于同一张图上，如图5—59所示。这样，根据给定的相位裕量就可由图5—59直接得到时域特性的最大超调量。反之，当要求超调量不超过某一允许的值时，也可以从图5—59中求得应有的相位裕量。 (1)相位裕量与调整时间之间的定量关系 仍以二阶系统为例，在第三章已求得调整时间的近似表达式为 (5—78) 将式(5—74)代入式(5—78)可得 （5—79） 再由式(5—75)和式(5—79)可得 （5—80） 将式(5—80)的函数关系绘成曲线，如图5—60所示。(图中画的是的关系式)。 图5—60 与的关系曲线 如果有两个系统，其相位裕量相同，那么他们的最大超调量 (时域)是大致相同的，但他们的调整时间并不一定相同。由式(5—80)可知，与剪切频率成反比，即越大，时域的调整时间越短。所以剪切频率在频率特性中是一个很重要的参数，它不仅影响系统的相位裕量，还影响动态过程的调整时间。 上述的频域性能与时域性能的定量关系都是基于二阶系统得出来的。对于高阶系统，只要存在一对闭环主导极点，就可以利用上述二阶系统分析的一些定量关系，以简化系统的设计。 (3)高阶系统 对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间没有准确的关系式。但是大多数实际系统，开环频域指标和能反映暂态过程的基本性能。为了说明开环频域指标与时域指标的近似关系，介绍如下两个关系式 (5—81) (5—82) 式中： (5—83) 将式(5—81)和(5—82)表示的关系，绘成曲线，如图5—61所示。可以看出，超调量％随相角裕度的减小而增大；调节时间随的减小而增大，但随的增大而减小。 图5—61 、与的关系曲线 由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统的开环频率特性反映了系统的闭环响应性能。对于最小相位系统，由于开环幅频特性与相频特性有确定的关系。因此，相角裕度取决于系统开环对数幅频特性的形式，但开环对数幅频特性中频段(附近的区段)的形状，对相角裕度影响最大，所以闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。 四、开环频率特性的高频段对系统性能的影响 如果高频段特性是由小时间常数的环节决定的，由于其转折频率远离，所以对系统动态响应影响不大。然而从系统抗干扰的角度看，高频段是很有意义的。 对于单位反馈系统，开环和闭环传递函数的关系为 则频率特性之间的关系为 由于在高频段，一般，即，故有 (5—84) 即闭环幅频近似等于开环幅频。 因此，开环对数幅频特性高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频信号的抑止能力，高频段分贝越低，系统抗干扰能力越强。 通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表征了系统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全可以由开环对数幅频特性反映出来。希望的系统开环对数幅频特性归纳起来不外乎以下几个方面： (1)如果要求具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特性的低频段应有—20dB／dec或一40dB／dec的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。 (2)开环对数幅频特性以一20dB／dec斜率穿过odB线，且具有一定的中频宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。 (3)具有尽可能大的剪切频率，以提高闭环系统的快速性。 (4)为了提高系统抗高频干扰的能力，开环对数幅频特性高频段应有较大的斜率。 第六节 用闭环频率特性分析系统的性能 一、闭环频率特性 上节中已给出了开环与闭环频率特性的关系，对单位反馈系统为 若已知开环频率特性，可求得环节的闭环频率特性。 图5—62示出了闭环幅频特性的典型形状。由图可见，闭环幅频特性的低频部分变化缓慢，较为平滑，随着增大，幅频特性出现最大值，继而以较大的陡度衰减至零，这种典型的闭环幅频特性可用下面几个特征量来描述。 图5—62 典型闭环幅频特性 (1)零频幅值：＝0时的闭环幅频特性值。 (2)谐振峰值：幅频特性极大值与零频幅值之比，即。在Ⅰ型和Ⅰ型以上系统，＝1，则谐振峰值是幅频特性极大值。 (3)谐振频率：出现谐振峰值时的频率。 (4)系统频带宽：闭环频率特性的幅值减小到0．707时的频率，称为频带宽，用表示。频带越宽，表明系统能通过较高频率的输入信号。因此高的系统，一方面重现输入信号的能力强，另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。 二、闭环频域指标与时域指标的关系 用闭环频率特性分析系统的动态性能，一般用谐振峰值和频带宽 (或谐振频率)作为闭环频域指标。 (1)二阶系统 由上节可知，典型二阶系统闭环传递函数为 (5—85) 对应式(5—85)写出二阶典型系统的闭环频率特性为： (5—86) 上式也是振荡环节的频率特性。 1) 与％的关系 典型二阶系统的闭环幅频特性为 (5—87) 在较小时，幅频特性出现峰值。其谐振峰值和谐振频率可用极值条件求得，即令 则谐振频率为： (5—88) 将式(5—88)代入式(5—87)中，可求得幅频特性峰值。因＝0时的幅频值＝1，则求得幅频特性峰值即是谐振峰值，即 (5—89) 当时，为虚数，说明不存在谐振蜂值，幅频特性单调衰减。时，＝0，＝1。时，＞0，＞l。时，。 将式(5—89)所表示的与的关系也绘于图5—63中。由图明显看出，越小，系统阻尼性能越好。如果谐振峰值较高，系统动态过程超调大，收敛慢，平稳性及快速性都差。从图5—63知，＝1．2—1．5对应％＝20％一30％，这时可获得适度的振荡性能。若出现＞2，则与此对应的超调量可高达40％以上。 图5-63 二阶系统％、、与的关系曲线 2) 、与的关系 在频率处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为 解出与、的关系为 (5—90) 由求得，代入式(5—90)中，得 （5—91） 将式(5—91)与式(5—89)联系起来，可求得与的关系，绘成曲线如图5—64所示。由图可看出、与的关系。对于给定的谐振峰值，调节时间与频带宽成反比。如果系统有较宽的频带，则说明系统自身的惯性很小，动作过程迅速，系统的快速性好。 谐振频率也反映系统的快速性，可以找出，与的关系，为简明起见，用曲线表示于图5—65。 图5—64 与的关系图5—65 与的关系 (2)高阶系统 对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时域指标之间的确切关系。但如果高阶系统存在一对共扼复数闭环主导极点，可针对二阶系统建立的关系近似采用。为了估计高阶系统时域指标和频域指标的关系，可以采用如下近似经验公式： (5—92) 和(5—93) 式中(5—94) 式(5—92)表明，高阶系统的％随增大而增大。式(5—93)则表明，调节时间随增大而增大，且随增大而减小。式(5—92)和式(5—93)的图示关系，如图5—66所示。 图5—66 、 与的关系曲线 三、开环频域指标和闭环频域指标的关系 (1)与的关系 相角裕度和谐振峰值都可以反映系统超调量的大小，表征系统的平稳性。 对于二阶系统，通过图5—63中的曲线可以看到与之间的关系。 对于高阶系统，可通过图5—67找出它们之间的近似关系。假设出现在附近(即接近)，就是说用代替来计算谐振峰值，并且较小，可以近似认为，于是有 (5—95) 当较小时，式(5—95)的准确度较高。 将式(5—95)代入式(5—92)和式(5—94)，即可得到前节的式(5—81)和式(5—83)。 图5—67 求取和之间的近似关系 (2) 与的关系 对于二阶系统，和的关系可通过式(5—74)和式(5—90)得到，即 (5—96) 可见与的比值是的函数，有 对于高阶系统，初步设计时，可近似取。 本 章 小 结 一、基本要求 1．正确理解频率特性的物理意义，数学本质及定义。 2．正确地运用频率特性的定义进行分析和计算，计算部件或系统在正弦输入的稳态响应以及反算结构参数。 3．熟记典型环节频率特性[Ｇ(jw)； | G|、∠G；20lg|G |、 ∠ G]的规律及其特征点。 4．熟练掌握由环节G(s)及系统开环传递函数绘制对数频率特性曲线的方法。 5．熟练掌握由环节及系统的对数频率特性曲线反求传递函数的方法。 6．正确理解乃奎斯特判据及对数频率判据的原理证明和判别条件。 7．.熟练掌握运用乃奎斯特判据和对数频率判据判别系统稳定性的方法，并能正确计算稳定裕度和临界增益。 · 8．正确理解零频幅比Ａ(O) 、峰值Ａm(Mr) 、频宽Wb 、截止频率Wc 、 相裕度v 、模裕度h以及三频段等概念，明确其和系统阶跃响应的定性关系。 9．了解尼柯尔斯图及其使用方法。 二、内容提要 一，频率特性的定义及应用 1．频率特性的定义 频率特性是控制理论的重要概念之一，有着明确的物理意义。频率特性有多种定义： 1)线性定常系统在正弦输入倌号作用下，输出、输入稳态振荡的复数比。 2)线性定常系统输出、输入富里哀变换之比。 3)线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。 4) Ｇ(s)|s=jw或Φ(s)|=jw，亦即Ｇ(jw)或Φ(jw)。 G(s)，Φ(s)为传递函数。 前两种定义只适用于稳定的系统，后两种定义则不受这种约束。 2．频率特性的直接应用 由频率特性的物理意义知，｜Φ(jw)]是系统在正弦信号作用下轴出、输入租态振荡的振幅比，称幅频； ∠ Φ(jw)是输出、输入稳态振荡的相位角差，称相频。而幅频、相颊和系统正弦输入信号的振幅大小和初相角大小全然无关，只决定于传递函数Φ(s)和信号的频率w。故可直接应用频率特性的定义．计算动态部件或系统在正、余弦信号作用下的稳态输出、输入关系。如稳定系统的某输出量为C(t)，输入量为r(t)，系统传递函数C(S)/R(S)= Φ(s),则当r(t)=Arsin(wt十Φr)时，输出的稳态响应必为 更多简述频域分析法(试述频域分析法的概念)相关信息请关注本站，本文仅仅做为展示！
