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∫[0,π](x-1)sinxdx定积分计算

本文主要内容：

通过定积分直接求法、上下限换元法、定积分公式法，介绍定积分∫[0,π](x-1)sinxdx的计算过程和步骤。

∫[0,π](x-1)sinxdx

=-∫[0,π](x-1)dcosx

=-∫[0,π]xdcosx-∫[0,π]dcosx

=-xcosx[0,π]-∫[0,π]cosxdx+cosx[0,π]

=-πcosπ-sinx[0,π]+(cosπ-cos0)

=π+0+(-1-1)

=π-2。

上下限换元法:

∫[0,π](x-1)sinxdx，设x=π-t，

则t=π-x，代入得：

I=∫[0,π][(π-t)-1]sin(π-t)d(π-t)，

=-∫[π,0][(π-t)-1]sin(π-t)dt,

=∫[0,π][(π-t)-1]sin(π-t)dt

=∫[0,π][(π-t)-1]sintdt

=∫[0,π](π-t-1)sintdt

=∫[0,π][π-2-(t-1)]sintdt

=(π-2)∫[0,π]sintdt-∫[0,π](t-1)sintdt

=(π-2)∫[0,π]sintdt-I,则：

2I=(π-2)∫[0,π]sintdt,

I=(1/2)(π-2)∫[0,π]sintdt,

I=-(1/2)(π-2)cost[0,π],

I=-(1/2)(π-2)(cosπ-cos0)

所以：I=π-2。

根据定积分公式∫[0,π]xsinxdx=(π/2)∫[0,π]sinxdx有：

∫[0,π](x-1)sinxdx

=∫[0,π]xsinxdx-∫[0,π]sinxdx

=(π/2)∫[0,π]sinxdx-∫[0,π]sinxdx

=(π/2-1)∫[0,π]sinxdx

=-(π/2-1)cosx[0,π]

=-(π/2-1)(cosπ-cos0)

=2(π/2-1)

=1π-2.

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