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2300年前，古希腊数学家欧几里得写下了《几何原本》，它建立了一种研究图形的方法，称为欧几里得几何被后人。欧几里德在当时创立了一个相当独特的公理体系，即他首先提出了一些显而易见、不证自明的公理。

例如，他提出了定理三角形的内角之和必须等于180度，而且他的很多几何计算都是以此为基础，看起来相当正确。但后来的数学家对此提出质疑，认为这个定理是由于经验而非真理。那么，不遵循欧几里得千米系统的几何也被赋予了相应的名称，叫做非欧几里得几何学。

欧几里得几何对空间物体的描绘是基于一定维度的内积。对于空间中的一些点或线，我们感兴趣的是它们的距离、角度等性质，这些性质可以通过求解它们的内积得到。比如二维空间中两个向量X=(x1，x2)和Y=(y1，y2)之间的距离是x1*y1 x2*y2。那等于内积x，y，这个公式可以推广到三维空间，甚至是比三维更大的空间。因此，欧几里得空间也被称为有限维实内积空间。

但是，就像三角形的内角和问题一样，在使用中也发现了欧氏空间的局限性。这得从拓扑说起。

欧几里得几何学“拓扑学家就是不会区分甜甜圈和咖啡杯的人。”-JohnL.Kelley

单词拓扑结构在希腊语中是地貌的意思。拓扑学是研究在几何的连续变形中保持不变的性质。例如，属在下面的链接中介绍。无论如何变形，不同属的物体都不可能变成同样的样子。亏格是一种拓扑不变量。

而不断的变换最终可以变成同样的两个物体，叫做同胚（Homeomorphism）.从这个角度来看，甜甜圈就相当于有把手的杯子(两者都只有一个孔)。但其实杯子是不能做成甜甜圈的，因为都是瓷器或者塑料做的，太硬了。相反，拓扑学研究的对象必须是软，某种意义上，就像可以流动的液体。但在传统的基于内基的欧氏空间(如笛卡尔坐标系)中，得出甜甜圈等于杯子的结论是不可思议的。相应地，基于欧几里得空间的几何学被称为硬。

因此，在拓扑学中必须定义一个特殊的软概念。

拓扑学（Topology）流形这个名字来源于19世纪德国数学家黎曼。Manifold在德语中的原名是Mannigfaltigkeit，意思是多样性。

接下来的问题是，如何准确描述这种柔软多变的流形？

这个灵感来自Atlas。假设你想做一张详细的中国地图，有两个难点。首先，不可能在一张纸上包含所有的地图细节，所以不同的城市应该在不同的图上绘制。然后，给出比例尺，然后告诉读者从天津到西北的地图是北京等等。

第二个问题比较难，源于地图本身的局限性。我们很容易知道，我们可以从上海往西到乌鲁木齐。但如果从上海坐船向东，穿越北美和欧洲，也可以到达乌鲁木齐。有了这个逻辑，从任何地方出发，向任何方向前进，都可以回到原点，这是地图无法表达的。

用拓扑问题对比地图，地图就像笛卡尔坐标系，在局部讨论中成立。就像拿着一张北京地图从西直门走到西单，无论如何都不会有歧义。但是扩展到整个地球(流形)就站不住脚了。

所以一种流体是用图谱的概念来描述的：流体的任何微小部分都被视为欧几里得空间，称为图表。无数这样的图表拼接在一起形成地图集。

同时我们可以看到，这样定义的流形要求它在任何小空间里都必须是‘简单的’。试想，一个柿子可以看作流形，但有一天它发霉了，有一根头发(作为一条线)，就不能看作流形。因为考虑到柿子长毛的微小区域，无法用图表来描述。

实际上，地球的经纬度可以看作是一个坐标系。可以看出，在最高纬度(南北极)，方向无法定义。这也是欧氏空间对流体的限制。

此外，必须指出的是，不同的地图集可以通过为同一流体选择不同的地图(或投影)来定义。

像在欧几里得空间中一样，流形有维数，维数是局部定义的。如果一个流形的图是n维的，那么这个图叫做n维流形。例如，如果球面的任何微小部分都是二维平面，那么这个球面就是二维流形。

从上面的例子可以看出，在欧几里得空间中，流形的维数与其个体(3维)相比是减少的。直观上，因为曲面上的运动只有两个自由度。通常对于笛卡尔坐标系中的曲面，可以找到对应的低维流形坐标。这个过程称为参数化。

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