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我们对分数的加法比较熟悉，但这里说的是分数的“加法”。分数的加成是什么？例如，给出两个分数$frac{1}{3}$和$frac{2}{5}$，将它们的分母加到8，分子加到3。然后分别用8和3做分母和分子，组成一个新的分数$ frac。

“分数的加法”和“分数的加法”是两个完全不同的概念。我们不能混淆它们。那么，加价有什么用呢？

我们经常需要找到一个简洁的分数作为小数的近似值。例如，如果你给定十进制数3.1415926，求一个近似等于它的分数。当然可以找到$3 frac {{1415926}} {{1000000}} $，正好等于3.1415926。但是不够简洁，分子和分母数量太多。如果我们要找一对齿轮，使它们的啮合速比为3.1415926，就不用分别造31415926和1000000齿的两个齿轮了！一般来说，我们总是寻找齿数较少的两个齿轮，宁愿它们的啮合速比仅约等于3.1415926。比如用$frac{{355}}{{113}}$作为近似值3.1415926，这样就可以通过分别制造两个113355齿的齿轮来近似达到这个目的。$frac{{355}}{{113}}$被称为3.1415926的近似分数。

“加法”是寻找理想近似分数的重要方法。例如，$frac{3}{1}$和$frac{4}{1}$分别是的不足近似值和过度近似值，我们将它们记为。用它们作为近似值，误差太大了。做加法，得到$frac{7}{2}$，大于，所以是超额近似值，标记为。

用to get再次添加；

再次添加即可获得；

……

这样，连续相加6次可以得到如下分数：

这时，我们从的最粗略的两个近似分数之和得到了中国古代所谓的“疏率”。如果继续相加，还可以得到以下一系列近似分数：

这个数值最早是由三国时期的数学家刘徽得出的，所以古代称之为惠率。

秘率由祖冲之得。数学史家对它的起源有各种猜测。因为可以用加性过程来获得秘率，同时加性过程在中国古代天文历法的计算中早已被使用(加性过程在古代被称为“调日之法”)，所以有人认为祖冲之可能就是利用加性过程获得秘率的。中国古代的两种率(疏率$frac{{22}}{7}$和密率$ frac {{355}} {{113} $)传到日本后，日本数学家关晓禾下大力气研究其起源。在他的书《括要算法》中，他列出了上面提到的一系列分数。

将使用加法过程来找到0.618……的近似分数，这也很有趣：

从和开始，我们使用加法过程得到$frac{3}{5}$，可以记录为$ frac {3} {5} $ <0.618 …

是的，再次使用加法过程。

再次，用加法过程得到；

……

连续加法可以得到以下一系列分数：

熟悉最优化方法的读者可以看出，这就是最优化方法中的“分数法”。以上分数均可代替0.618。

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