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学 习 目 标

核 心 素 养

1.通过实例了解 *** 的含义．(难点)

2．掌握 *** 中元素的三个特性．(重点)

3．体会元素与 *** 的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)

1.通过 *** 概念的学习，逐步形成数学抽象素养．

2．借助 *** 中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.

1．元素与 *** 的相关概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2) *** ：一些元素组成的总体叫做 *** (简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

(3) *** 相等：指构成两个 *** 的元素是一样的．

(4) *** 中元素的特性：确定性、互异性和无序性．

思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个 *** ？

(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个 *** ？

提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成 *** ，因为“帅哥”没有明确的标准．

(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个 *** ，因为标准确定．

2．元素与 *** 的关系

(1)属于：如果a是 *** A的元素，就说a属于 *** A，记作a∈A.

(2)不属于：如果a不是 *** A中的元素，就说a不属于 *** A，记作a?A.

3．常见的数集及表示符号

数集

非负整数集(自然数集)

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

1．下列给出的对象中，能构成 *** 的是(　　)

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．清华大学2019年入学的全体学生

D　[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成 *** ，故选D.]

2．用“book”中的字母构成的 *** 中元素个数为(　　)

A．1　　　 B．2

C．3 D．4

C　[由 *** 中元素的互异性可知，该 *** *** 有“b”“o”“k”三个元素．]

3．用“∈”或“?”填空：

________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.

[答案]　?　∈　?　?　∈

4．已知 *** M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.

3　[由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]

*** 的基本概念

【例1】　考察下列每组对象，能构成 *** 的是(　　)

①中国各地最美的乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．

A．③④　　　　 B．②③④

C．②③ D．②④

B　[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成 *** ，故选B.]

判断一组对象能否组成 *** 的标准

判断一组对象能否组成 *** ，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成 *** ；否则，不能组成 *** .同时还要注意 *** 中元素的互异性、无序性.

1．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)大于3小于5的所有自然数构成一个 *** ；

(2)直角坐标平面内之一象限的一些点组成一个 *** ；

(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的 *** 有3个元素．

[解]　(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个 *** ．

(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个 *** ．

(3)不正确，方程的解只有1和－2， *** 中有2个元素．

元素与 *** 的关系

【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　)

①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－5|?N*.

A．1　　　B．2 C．3　　　 D．4

(2)已知 *** A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　)

A．2 B．2或4

C．4 D．0

(1)B　(2)B　[(1)①π是实数，所以π∈R正确；

②是无理数，所以?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B.

(2) *** A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，

所以a＝2，

或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，

所以a＝4，

综上所述，a＝2或4.故选B.]

判断元素与 *** 关系的2种 ***

(1)直接法：如果 *** 中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知 *** 中是否出现即可.

(2)推理法：对于一些没有直接表示的 *** ，只要判断该元素是否满足 *** 中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知 *** 中的元素具有什么特征.

2． *** A中的元素x满足∈N，x∈N，则 *** A中的元素为________．

0,1,2　[∵∈N，

∴3－x＝1或2或3或6，

即x＝2或1或0或－3.

又x∈N，故x＝0或1或2.

即 *** A中的元素为0,1,2.]

*** 中元素的特性及应用

[探究问题]

1．若 *** A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？

提示：a≠b.

2．若1∈A，则元素1与 *** A中的元素a，b存在怎样的关系？

提示：a＝1或b＝1.

【例3】　已知 *** A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

[思路点拨]　

[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a，

(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.

(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足 *** 中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．

[解]　由 *** 中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.

2．(变条件)已知 *** A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．

[解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时， *** A有重复元素，

所以a≠1；

当a＝－1时， *** A含有两个元素1，－1，符合 *** 中元素的互异性，所以a＝－1.

1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．

2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证 *** 中元素的互异性，而造成过程性失分．

提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．

1．判断一组对象的全体能否构成 *** 的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成 *** ，否则不能组成 *** ．

2． *** 中的元素具有三个特性，求解与 *** 有关的字母参数值(范围)时，需借助 *** 中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．

3．解答含有字母的元素与 *** 之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．

1．思考辨析

(1)接近于0的数可以组成 *** ．(　　)

(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个 *** 是相等的．(　　)

(3)一个 *** 中可以找到两个相同的元素．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2．已知 *** A由x<1的数构成，则有(　　)

A．3∈A　　　　 B．1∈A

C．0∈A D．－1?A

C　[∵0<1，∴0是 *** A中的元素，故0∈A.]

3．下列各组对象不能构成一个 *** 的是(　　)

A．不超过20的非负实数

B．方程x2－9＝0在实数范围内的解

C.的近似值的全体

D．某校身高超过170厘米的同学的全体

C　[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个 *** ．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个 *** ．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个 *** ．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个 *** ．故选C.]

4．已知 *** A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

[解]　∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，

则a＝0，

此时 *** A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时 *** A中含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，a＝0或a＝－1.

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