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该定理是实分析的定理。约略来说,这定理指可测函数差不多是连续函数。

一维形式

设是可测函数,对任何,都存在紧致集E,使得,而且f限制到E上是连续函数。此处是勒贝格测度。[1]

证明

因为f可测,所以在一个测度任意小的开集以外,f是有界函数。在开集上重定义f为0,那么f在[a,b]上有界,因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间中稠密,存在连续函数序列依L范数收敛至f,即。故此有子序列几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知,除了一个测度任意小的开集外,一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的,故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集,那么原本的f在E上连续。

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