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函数最高或最低在哪里？微积分可以帮到你！

平滑变化函数的低点(阶最小值)或高点(最大值)是它变平的地方：

(但并不是所有平坦的地方都是极大值或极小值，也可以有一个鞍点)

哪里变平了？其中斜率等于零。

斜率在哪里等于零？导数可以告诉我们！

你可能想先了解一下衍生品。)

例子：向上扔一个球。球离开手后T秒，它的高度是：H=3 14 T 5 T 2

那么球的最高高度是多少呢？

导数可以给出函数的斜率：

h=0 14 5(2t)=14 10t

对于这个例子，你可以在下面看到如何找到这个导数。)

找出斜率等于零的地方：

4 110t=0 10t=14t=14/10=1.4斜率在t=1.4秒时等于零。

此时球的高度是：

H=3 14 1.45 1.42h=3 19.6 9.8=12.8所以：

最大高度12.8m(t=1.4s时)。

简要回顾一下导数。本质上，导数就是函数的斜率。

在上面的例子中，我们使用：

h=3 14t 5t 2

要找到这个导数：

h=0 14 5(2t)=14 10t

它是函数在时间t的斜率。

一些规则可以帮助我们找到导数。

以下是一些规则：

常数t的导数(像3)是与0的直线，像2x，导数是2，14t的导数是14的平方函数，t2的导数是2t，所以5t2的导数是5(2t)=10t，导数是导数。在这里了解更多衍生规则。

我们如何知道最大值(或最小值)？看图就好！如果你不看照片.使用导数。

求斜率的导数(原函数的二阶导数):

110t的导数是10。

这意味着斜率继续减小(10):从左到右，斜率开始为正(函数上升)，经过零(平点)，然后变为负(函数下降):

下降的斜率(也超过0)代表最大值。

这是二阶导数检测。

上图显示了前斜率和后斜率，但在实际情况下，我们测试的斜率为零：

二阶导数测试如果函数在x处的导数等于零，并且在x处的二阶导数为：

如果小于0，局部最大值大于0，或者局部最小值等于0，检测失败(但也可能有其他方式)‘二阶导数：小于0为最大值，大于0为最小值’

举例：求下列函数的最大值和最小值：Y=5x3 2x2 3x

导数(斜率)为：

y=15x 2 4x 3

这是一个二次型，零点在：

x=3/5 x=1/3

这两点会是极大值还是极小值？(先不要看图！)

二阶导数是y=30x 4

在x=3/5时：

Y''=30 (3/5) 4=14小于0，因此3/5是x=1/3时的局部最大值：

Y''=30( 1/3) 4=14大于0，所以1/3是局部最小值(现在可以看到图片了。)

高点称为最大值。

低点称为最小值。

两者都叫极值。

如果一个函数在别的地方可能有更高(或更低)的值，但在这个点附近没有，我们称这个点为局部最大值(或最小值)。

再比如：求下式的最大值和最小值：Y=X3 6x2 12x5

衍生产品：

y=3 x2 12x 12

它是一个二次型，在x=2处只有一个零点。

是最大值还是最小值？

二阶导数是y=6x 12

x=2时：

Y''=6 (2) 12=0等于0，所以检测失败的原因是：

这是一个鞍点.斜率变为零，但不是最大值或最小值。

它必须是可微的。有一个重要的技术要点：

函数必须是可微的(导数存在于函数定义域中的每一点)。

例子：函数f(x)=|x|(绝对值)|x|的图像是这样的：在x=0处有一个急剧的变化！

在x=0时，这个函数是不可微的(见可微网页)。

因此，上述方法不能用于绝对值函数。

(函数也一定是连续的，但任何可微的函数都是连续的。)

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