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6叫做完全数。

在中世纪的欧洲，意大利人认为6是属于爱情女神维纳斯的数字，是婚姻幸福的象征，6也被称为完全数。其实完全数传入中国的时候还有一个译名，叫“完全数”。

如果一个自然数的所有因子(不包括自身)加起来正好等于这个数，这样的自然数叫做完全数。不难看出，6有三个因子1，2，3，1 ^ 2 ^ 3=6，所以6是一个完全数，是完全数家族中最小的成员。28除了本身，还有5个因子1，2，4，7，14，这是第二个完全数：1 2 4 7 14=28。所有找到的完全数都是偶数，而不是奇数。但是，人们仍然无法证明奇完全数不存在，这个问题成为数论中又一个悬而未决的问题。

法国天主教修士梅森

早在公元前500年，毕达哥拉斯就已经接触完全数。后来欧几里德在《几何原本》的第九章中指出，如果2n1是素数，那么2n-1(2n1)就是完全数。17世纪，法国天主教修士梅森对2n1进行了大量计算，并做出了一些断言(其中一些是错误的)。后人为了纪念他的功绩，把2n1这样的数称为梅森数，记为Mn。

很容易证明，当梅森数2n1是素数时，n一定是素数；相反，当n是素数时，梅森数似乎就是素数，例如：M3=7，M5=31，M7=127。然而出乎意料的是，下一个M11=2111=2047=2389出来的时候，这个规律就不存在了！

梅森素数因其许多奇特的性质和奇妙的奇闻轶事，千百年来吸引了众多数学家。但直到18世纪，只发现了8个梅森素数，分别是M2、M3、M5、M7、M13、M17、M19和M31。

其中最后一个M31是数学家欧拉在失明时用心算证明的。这是当时世界上已知的最大的质数。欧拉还证明了欧几里德关于完全数的定理的逆定理，即每一个偶数完全数都具有2n-1(2n1)的形式，其中2n1是素数。这使得偶数完全数完全成了梅森素数的副产品。在接下来的100年里，只增加了4个新发现的梅森素数——M61、M89、M107和M127。其中，卢卡斯定理——是法国数学家卢卡斯于1876年提出的判断Mp是否为素数的重要定理，为梅森素数的探索提供了有力的工具。

在“笔数纸记的时代”，人们历尽艰辛，只找到了12个梅森素数。计算机的出现大大加快了探索梅森素数的步伐。1952年，数学家Robinson将美国数学家Lemmer在1930年改进的Lucas方法，即Lucas-Lemmer方法，编制成计算机程序，利用SWAC计算机发现了五个新的梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。

1963年，当通过大型计算机发现第23个梅森素数M11213时，美国广播公司中断了正常的节目播出，第一时间发布了这一重要消息。发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系的所有师生都无比自豪。为了让全世界分享这一成果，他们在所有从该部门寄出的信件上盖了“2112131是质数”(2112131是质数)的邮戳。

尤其是Noel和Nicole这两个初出茅庐的美国中学生，努力了三年编写了一个计算程序，于1978年10月在Cyber174计算机上运行了350个小时，发现了第25个梅森素数M21701。当时世界各大新闻机构(包括中国的新华社)和学术期刊争相报道这一消息，《纽约时报》作为头版报道。

网格这一新技术的出现，让梅森素数的探索如虎添翼。1996年初，美国数学家兼程序员沃特曼编写了一个梅森素数计算程序，并放在网页上，供数学家和数学爱好者免费使用。这就是举世闻名的“互联网梅森素数搜索”(GIMPS)项目。该项目采用网格计算模式，利用普通计算机的大量空闲时间，获得相当于超级计算机的计算能力。现在，人们只要去GIMPS的主页下载一个免费程序，就可以立即加入GIMPS项目搜索梅森素数。目前，已有来自世界150多个国家和地区的近15万人参加了GIMPS这一国际合作项目。

搜索梅森素数也是测试计算机运算速度的一种手段。人们通过GIMPS项目发现了14个新的梅森素数。2008年8月23日，加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯发现了第45个梅森素数M43112609。2008年9月6日，电子工程师El Vigniko发现了第46个梅森素数M37156667。2009年4月12日，挪威人Strind Mo在上述两个数之间发现了梅森素数M_{42 643 801}。2013年1月25日，由美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组发现了已知最大的梅森素数M_{57885161}，其数量超过1700万，使得已发现的梅森素数达到48个。除了第一个，所有的梅森素数都以1和7结尾。有趣的是，48个梅森素数大多以1结尾。

为什么人们如此热衷于寻找梅森素数？从古希腊到17世纪，似乎梅森素数的意义只是为了完美。但是，自从梅森提出了他的著名论断，尤其是欧拉证明了欧几里得的偶完全数定理的逆定理之后，完全数就只是梅森素数的副产品了。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效方法。从欧拉证明M_{31}是当时最大的素数开始，梅森素数几乎包揽了发现已知最大素数的世界大赛的所有冠军。

搜索梅森素数也是检验计算机运算速度等功能的有力手段。例如，第34个梅森素数MM_{1257787}是1996年9月美国克雷公司测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。发现梅森素数不仅需要高功能的计算机，还需要素数判别和数值计算的理论和方法，以及高超巧妙的编程技巧。因此也促进了“数学女王”数论的研究，促进了计算数学和编程技术的发展。

在梅森素数的实际领域也是有用的。现在人们已经在现代密码设计领域使用大素数。原理是把一个大数分解成几个质数的乘积是非常困难的，但是把几个质数相乘就容易多了。在这种密码设计中，需要使用大的素数。质数越大，密码被破译的可能性越小。

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